Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Непрерывные и периодические функции. Свойства и графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Обратные функции и их графики
Цель работы: обучающийся должен: знать: - определение тригонометрических функций; - свойства тригонометрических функций; уметь: - строить косинусоиду.
Сведения из теории: Функции синус и косинус Числовые функции, заданные формулами y = sin x и y = cos x, называют соответственно синусом и косинусом (и обозначают sin и cos). Область определения этих функций – множество всех действительных чисел. Областью значений функций синус и косинус является отрезок [-1; 1]. Т.е. D (sin)= D (cos)= R; E (sin)= E (cos)=[-1; 1]. Свойства функций синус и косинус: Для любого х справедливы равенства: 1) sin (- x)=- sin x, cos (- x)= cos x; 2) sin (x +2π n)= sin x, cos (x +2π n)= cos x, где n – произвольное целое число. Синусоида Построим график функции синус на отрезке [0; 2π]. Для этого отметим на оси ординат точки (0; -1) и (0; 1), а на оси абсцисс точку с абсциссой 2π (длина отрезка [0; 2π] шесть клеток ~ 6,28). Далее пользуясь вычисленными значениями синуса построим график функции на отрезке [0; 2π]. Вне этого отрезка заметим, что sin (x +2π n)= sin x и с помощью параллельных переносов вдоль оси О х влево и вправо достроим график функции на отрезках [-4π; -2π], [-2π; 0], [2π; 4π]. График синуса называется синусоидой. Для построения графика косинуса необходимо воспользоваться формулой cos x = sin (x +π/2). Это означает, что график косинуса получается из графика синуса с помощью параллельного переноса на расстояние π/2 влево вдоль оси О х. Поэтому график функции y = cos x также является синусоидой. Сведем известные свойства функций в таблицу (всюду полагая, что n – произвольное целое число).
Задания для самостоятельного решения:
№1. Построить схематически косинусоиду на интервале [-3π; 3π] и выполнить следующие упражнения: 1) Проиллюстрировать по графику, что: а) функция cos x не может принимать значений, превосходящих по абсолютной величине единицу, т. е. -1 < cos x < 1; б) каждому действительному значению х соответствует только одно значение cos х (свойство однозначности косинуса); в) при замене произвольного значения аргумента х противоположным ему значением – х значение функции не изменяется, т. е. cos(- х)=cos х (свойство четности косинуса). Как можно использовать свойство четности косинуса при построении его графика; г) при изменении произвольного значения аргумента на число, кратное числу 2π, значение функции cos x не изменяется, т. е. cos(х +2π k)=cos x (свойство периодичности косинуса). Как можно использовать периодичность косинуса при построении его графика; д) при изменении произвольного знамения аргумента на число π значение функции у заменяется противоположным ему значением - у, т. е. cos(x ±π)=-cos x; е) уравнение cos х =0,5 имеет бесчисленное множество решений. Назвать несколько частных решений этого уравнения. 2) Указать интервалы, в которых функция у =cos х принимает: а) положительные значения; б) отрицательные значения. Какие четверти единичной окружности соответствуют этим интервалам. 3) Выделить на оси абсцисс и на единичной окружности интервалы, в которых функция у =cos x: а) возрастает; б) убывает. Проиллюстрировать на графике, что в любом интервале монотонности косинус последовательно принимает все свои возможные значения, каждому из которых соответствует только одно значение аргумента в рассматриваемом интервале. №2. По графику функции у =cos x ответить на следующие вопросы: 1) Как изменяется cos x, если аргумент х: а) увеличивается от -2π до π; б) уменьшается от 2,5π до 1,5π? 2) Чему равен косинус числа: а) π; б) 2π; в) -0,5π; г) -2π? 3) Что меньше: a) cos 0,7 или cos 1; б) cos(π/2+1) или cos(π/2-1)?
4) При каких значениях х функция cos x равна: а) 0; б) 1; в) -1? 5) Проиллюстрировать на графике, что не существует значений аргумента х, при которых функция cos x была равна 2. Контрольные вопросы: 1. Какие функции называют синусом и косинусом? 2. Что является графиком функций синус и косинус? 3. Перечислите свойства функций синус и косинус.
Практическое занятие Обратные тригонометрические функции. Преобразования графика функции. Гармонические колебания. Прикладные задачи. Показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства
Цель работы: обучающийся должен: знать: - определение тригонометрических функций; - свойства тригонометрических функций; уметь: - строить графики тригонометрических функций.
Сведения из теории: Числовые функции, заданные формулами y = tg x и y = ctg x, называют соответственно тангенсом и котангенсом (и обозначают tg и ctg). Областью определения функции тангенс является множество всех чисел х, для которых cos x ≠0, т.е. все числа х ≠π/2+π n, где n - произвольное целое число. Областью определения функции котангенс является множество всех чисел х, для которых sin x ≠0, т.е. все числа х ≠π n, где n - произвольное целое число. Область значений тангенса (котангенса) – вся числовая прямая. Свойства функций тангенс и котангенс: Для любого х справедливы равенства: 1) tg (- x)=- tg x, ctg (- x)=- ctg x; 2) tg (x +π n)= tg x, ctg (x +π n)= ctg x, где n – произвольное целое число. Построение графика тангенса на интервале (-π/2; π/2) аналогично построению синуса. Вследствие тождества tg (x +π n)= tg x график тангенса на всей области определения получается из графика на интервале (-π/2; π/2) параллельным переносом вдоль оси О х влево и вправо на π, 2π и т.д. График функции тангенс называют тангенсоидой. Для построения графика y = ctg x воспользуемся тождеством ctg x =- tg (x +π/2). Из этого тождества следует, что для построения графика котангенса необходимо сдвинуть график тангенса на π/2 влево вдоль оси О х и отразить полученную кривую относительно оси О х. Сведем известные свойства функций в таблицу (всюду полагая, что n – произвольное целое число).
Задания для самостоятельного решения: №1. Построить схематически тангенсоиду на интервале (-3π/2; 3π/2). При построении: 1) отметить на оси абсцисс точки, соответствующие числам: -1,5π; -π; -0,5π; 0,5π; π; 1,5π (за единицу масштаба принять отрезок, равный 1 см); 2) через точки (-1,5π; 0); (-0,5π; 0); (0,5π; 0) и (1,5π; 0) провести (пунктиром) прямые, параллельные оси ординат;
3) отметить точки тангенсоиды с ординатами ±1; 4) вычертить (от руки) тангенсоиду. №2. Пользуясь схематическим графиком функции у =tg x выполнить следующие упражнения: 1) Указать интервалы, в которых функция принимает: а) положительные значения; б) отрицательные значения. 2) Определить, при каких значениях х на интервале (-3π/2; 3π/2) функция у =tg x: а) убывает; б) возрастает; в) принимает значение, равное нулю; г) теряет смысл. Выразить формулой множество таких значений х, при которых у =tg x теряет смысл. 3) Убедиться, что каждому допустимому значению аргумента х соответствует только одно значение функции. 4) Проиллюстрировать на графике, что функция у =tg x есть периодическая функция с периодом π, т. е. tg(x +π k)=tg x. 5) Показать, что каждому значению функции у соответствует бесчисленное множество определенных значений аргумента х. 6) Решить неравенства: a) tg x >-1; б) | tg x |<1. №3. Построить на одном чертеже графики функций: у=х; у =sin х и у =tg х, если 0< х <π/2. Пользуясь чертежом, проиллюстрировать неравенство sin x < х <tg x. Контрольные вопросы: 1. Какие функции называют тангенсом и котангенсом? 2. Что является графиком функций тангенс и котангенс? 3. Перечислите свойства функций тангенс и котангенс.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-11-27; просмотров: 328; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.147.66.149 (0.019 с.) |