Обратные тригонометрические функции. Арксинус, арккосинус, арктангенс. Радианный метод измерения углов вращения и связь с градусной мерой

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- определения радиана, синуса, косинуса, тангенса и котангенса числового аргумента, арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса;

- значения тригонометрических функций некоторых аргументов;

- знаки значений тригонометрических функций по координатным четвертям;

уметь:

- переводить значения углов из радианной меры угла в градусную меру и наоборот;

- вычислять простейшие тригонометрические выражения.

Сведения из теории:

Радианная мера

Угол в 1 радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Радианная и градусная меры связаны между собой зависимостью180⁰=π радиан; угол в n ⁰=  радиан.

Значения тригонометрических функций могут быть найдены так, как это делалось в курсе геометрии, из прямоугольного треугольника с гипотенузой равной 1 и по очереди задаваемых углов: 30⁰, 45⁰, 60⁰.

Знаки тригонометрических функций по координатным четвертям:

Номер координатной четверти	I	II	III	IV
sinα	+	+	–	–
cosα	+	–	–	+
tgα	+	–	+	–
ctgα	+	–	+	–

 

Единственная четная функция – косинус

cos(- α)= cos α.

Все остальные основные тригонометрические функции нечетные:

sin(- α)= -sin α;

tg(- α)= -tg α;

сtg(- α)= -сtg α.

Значения основных тригонометрических функций

Радианная мера угла	0								π
Градусная мера угла	0^0	30^0	45^0	60^0	90^0	120^0	135^0	150^0	180^0
sin α	0				1				0
cos α	1				0				-1
tg α	0		1		–		-1		0
ctg α	–		1		0		-1		–

 

Радианная мера угла								2π
Градусная мера угла	210^0	225^0	240^0	270^0	300^0	315^0	330^0	360^0
sin α				-1				0
cos α				0				-1
tg α		1		–		-1		0
ctg α		1		0		-1		–

Пример 1. Вычислите: sin405⁰.

Решение: полный круг – 360⁰ можно «отбросить»:   sin405⁰=sin(405⁰-360⁰)=sin45⁰= .

Пример 2. Выразите в радианной мере значение угла 36⁰.

Решение: чтобы «перевести» градусную меру угла в радианную, необходимо заданное значение умножить на , т.о. получим36⁰=

Пример 3. Выразите в градусной мере значение угла .

Решение: чтобы «перевести» радианную меру угла в градусную, необходимо заданное значение умножить на , т. о. получим

Задания для самостоятельного решения:

1 вариант №1. Выразите в радианной (градусной) мере значение угла: 60^0; . №2. Вычислите:	2 вариант №1. Выразите в радианной (градусной) мере значение угла: 180^0; . №2. Вычислите:	3 вариант №1. Выразите в радианной (градусной) мере значение угла: 270^0; . №2. Вычислите:
4 вариант №1. Выразите в радианной (градусной) мере значение угла: 120^0; . №2. Вычислите:	5 вариант №1. Выразите в радианной (градусной) мере значение угла: 310^0; . №2. Вычислите:	6 вариант №1. Выразите в радианной (градусной) мере значение угла: 360^0; . №2. Вычислите:
7 вариант №1. Выразите в радианной (градусной) мере значение угла: 1500^0; . №2. Вычислите:	8 вариант №1. Выразите в радианной (градусной) мере значение угла: 216^0; . №2. Вычислите:	9 вариант №1. Выразите в радианной (градусной) мере значение угла: 90^0; . №2. Вычислите:

Задания для самостоятельного решения:

Вариант 1 №1. Вычислите: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;  е) . №2. Найти область определения функции: а) ; б) . №3. Найти множество значений функции . №4. Постройте график функции . Найдите нули и промежутки возрастания функции.

Вариант 2 №1. Вычислите: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) . №2. Найти область определения функции: а) ; б) . №3. Найти множество значений функции . №4. Постройте график функции . Найдите нули и промежутки убывания функции.

Контрольные вопросы:

1. Что называется углом в 1 радиан?

2. В каких единицах измеряются углы?

3. Перечислите значения некоторых тригонометрических функций.

 

Практическое занятие