Векторы. Действия с векторами. Декартова система координат в пространстве

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- правила сложения векторов;

уметь:

- строить сумму векторов по правилу треугольника, параллелограмма;

- вычислять координаты суммы векторов.

Сведения из теории:

Линейные операции над векторами

Суммой двух векторов  называется вектор, который идет из начала вектора  в конец вектора  при условии, что вектор  приложен к концу вектора  (правило треугольника).

Наряду с правилом треугольника часто пользуются (равносильным ему) правилом параллелограмма: если векторы  и  приведены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма  есть вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма, идущей из общего начала  и . Отсюда сразу следует, что .

Сложение многих векторов производится при помощи последовательного применения правила треугольника, построим сумму четырех векторов , , , .

Разность двух векторов  называется вектор, который в сумме с вектором  составляет вектор . Если два вектора  и  приведены к общему началу, то разность их есть вектор, идущий из конца  («вычитаемого») к концу  («уменьшаемого»).

Два вектора равной длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные стороны, называются взаимно обратными: если один из них обозначен символом , то другой обозначается символом - . Легко видеть, что . Т. о., построение разности равносильно прибавлению к «уменьшаемому» вектора, обратного «вычитаемого».

Три вектора в пространстве можно складывать по правилу параллелепипеда: если на трех векторах , , , как на ребрах, построить параллелепипед, то его диагональ, выходящая из общего начала данных векторов, и будет их суммой = + + :

 

Задания для самостоятельного решения:

По данным векторам  и  построить каждый из следующих векторов: 1) , 2) , 3) , 4) .

При сложении векторов складываются их соответствующие координаты, при вычитании вычитаются соответствующие координаты, т.е. если даны координаты векторов  и , =(х ₁, у ₁, z ₁), =(х ₂, у ₂, z ₂) и = + ; = - , то координаты векторов и  вычисляются по формулам:

=(х ₁+ х ₂; у ₁+ у ₂; z ₁+ z ₂),

=(x ₁- x ₂; y ₁- y ₂; z ₁- z ₂).

Пример 1. Вычислить координаты векторов = + ; = - , если =(-3; 5; 1), =(4; -2; 8).

Решение: по формулам   =(х ₁+ х ₂; у ₁+ у ₂; z ₁+ z ₂) и =(x ₁- x ₂; y ₁- y ₂; z ₁- z ₂),

Имеем =(-3+4; 5+(-2); 1+8)=(1; 3; 9) и =(-3-4; 5-(-2); 1-8)=(-7; 7; -7).

Задания для самостоятельного решения:

Вычислить координаты векторов = ; = , если =(4; -3; 10), =(-4; 12; -1), =(3; -7; -11).

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте правило треугольника для сложения векторов.

2. Сформулируйте правило параллелограмма для сложения векторов.

3. Запишите формулы сложения (разности) векторов в координатах.

 

Практическое занятие

Расстояние между точками. Действия с векторами.