Геометрия раздел 3. Прямые и плоскости в пространстве

Практическое занятие

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- признаки перпендикулярности прямой и плоскости;

- признаки перпендикулярности плоскостей;

уметь:

- строить перпендикулярные прямые, плоскости в пространстве.

 

Сведения из теории:

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий даную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.

Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

AB - наклонная.
B - основание наклонной.

 

Перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной плоскости, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

AC - перпендикуляр.

C - основание перпендикуляра.

 

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости.

 

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

 

CB - проеция наклонной AB на плоскость α.

Треугольник ABC прямоугольный.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость.

CBA - угол между наклонной AB и плоскостью α.

 

Если ADAB, то DCBC

Если из данной точки к данной плоскости провести несколько наклонных, то большей наклонной соответствует большая проекция.

DAB - угол между наклонными
DCB - угол между проекциями наклонных
Отрезок DB - расстояние между основаниями наклонных.

Применение знаний при решении типовых заданий.

Пример 1.

Из точки К, на расстоянии 9 см, к плоскости опущен перпендикуляр КС и проведена наклонная КМ, равная 15 см.

Найти проекцию наклонной. (Устно, менять условие, найти наклонную, найти перпендикуляр)

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник КСМ: (КС-перпендикуляр, по условию), по теореме Пифагора:

 

Ответ: Проекция наклонной МС=12 см.

Задания для самостоятельного решения:

№3.  К плоскости α проведена наклонная, длина которой равна 25 см, проекция наклонной равна 15 см. На каком расстоянии от плоскости находится точка, из которой проведена наклонная?

№2. К плоскости α проведена наклонная AB (A∈α). Длина наклонной равна 12 см, наклонная с плоскостью образует угол 45°. Вычисли, на каком расстоянии от плоскости находится точка B.

№3. Проекции наклонных AD и DC на плоскости α равны 8 см и 4 см, а угол между ними равен 120°. Вычислите расстояние между концами проекций наклонных.

Практическое занятие