Геометрия раздел 8. Многогранники и круглые тела

Практическое занятие

Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма.

Цель работы:

студент должен:

знать:

- свойство, связывающее число вершин, ребер и граней многогранника, определение прямой и наклонной призмы;

уметь:

- устанавливать связь между числом плоских углов П многогранника и числом его  ребер Р, решать задачи на нахождение параметров призмы.

 

Сведения из теории:

Для выпуклых многогранников имеет место свойство, связывающее число его вершин, ребер и граней, доказанное в 1752 году Леонардом Эйлером, и получившее название теоремы Эйлера.

Прежде чем его сформулировать рассмотрим известные нам многогранники и заполним следующую таблицу, в которой В – число вершин, Р – ребер и Г – граней данного многогранника:

Название многогранника	В	Р	Г
Треугольная пирамида	4	6	4
Четырехугольная пирамида	5	8	5
Треугольная призма	6	9	5
Четырехугольная призма	8	12	6
n -угольная пирамида	n +1	2 n	+1
n -угольная призма	2 n	3 n	n+2
n -угольная усеченная пирамида	2 n	3 n	n+2

 

Из этой таблицы непосредственно видно, что для всех выбранных многогранников имеет место равенство В - Р + Г =2. Оказывается, что это равенство справедливо не только для этих многогранников, но и для про­извольного выпуклого многогранника. Заметим, что многоугольники можно деформировать, увеличивать, уменьшать или даже искривлять их стороны, лишь бы при этом не происходило разрывов сторон. Число вершин, ребер и граней при этом не изменится. Для полученного разбиения многоугольника на более мелкие многоугольники имеет место равенство: В - Р + Г '=1, где В – общее число вершин, Р – общее число ребер и Г ' – число многоугольников, входящих в разбиение. Ясно, что Г '= Г –1, где Г – число граней данного многогранника.

В любом выпуклом многограннике найдется грань с числом ребер меньшим или равным пяти Для любого многогранника имеет место неравенство .

 

Задания для самостоятельного решения:

1) Может ли число вершин многогранника равняться числу его гра­ней?

2) Установите связь между числом плоских углов П многогранника и числом его ребер Р.

3) Гранями выпуклого многогранника являются только треугольники. Сколько у него вершин В и граней Г, если он имеет: а) 12 ребер; б) 15 ребер? Приведите примеры таких многогранников.

4) Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит три ребра. Сколько он имеет вершин В и граней Г, если у него: а) 12 ребер; б) 15 ребер? Нарисуйте эти многогранники.

5) В каждой вершине выпуклого многогранника сходится по четыре ребра. Сколько он имеет вершин В и граней Г, если число ребер равно 12? Нарисуйте эти многогранники.

Решите задачи:

1).Диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом 60⁰. Найдите полную поверхность призмы, если диагональ основания равна 4 √2 см.

2).В основании прямой призмы лежит прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Высота призмы равна 5 см. Найдите полную поверхность призмы.

3) Найдите сторону основания и высоту правильной четырехугольной призмы, если площадь ее полной поверхности равна 40 см², а боковая поверхность 32 см².

4) В прямом параллелепипеде с высотой √14 м стороны основания равны 3 м и 4 м, диагональ АС равна 6 м. Найдите площадь диагонального сечения параллелепипеда, проходящего через вершины В и Д.

5)Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда по трем его измерениям: 7см, 9см и 11см.

6) В прямом параллелепипеде стороны основания величиной 5см и 9см образуют угол 45⁰, боковое ребро равно 8см. Найдите полную поверхность призмы.

7) В правильной четырехугольной призме площадь основания равна 144см², а высота 10см. Найдите площадь диагонального сечения.

Контрольные вопросы:

1. Запишите формулу, связывающую число вершин, ребер и граней многогранника.

 

Практическое занятие

Параллелепипед. Куб. Пирамида. Правильная пирамида.