Объем и его измерение. Интегральная формула объема

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- формулы для вычисления объемов подобных тел;

уметь:

- вычислять объемы подобных тел.

 

Сведения из теории:

Объемы равных тел равны Если тело разбито на несколько тел, не имеющих общих внутренних точек, то его объем равен сумме объемов этих тел. Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия.
Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту: V= S o H или произведению площади ее перпендикулярного сечения на боковое ребро: V= S o l.
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту:
Объемы призм (пирамид), имеющих равновеликие основания, относятся как их высоты. Объемы призм (пирамид), имеющих равные высоты, относятся как площади их оснований.
Объемы тетраэдров, имеющих общий трехгранный угол, относятся как произведения ребер, содержащих этот угол.
Объем тетраэдра может быть найден по формуле: , где a и b – длины скрещивающихся ребер, с – расстояние между ними, φ – угол между ними.
Объем усеченной пирамиды
Объеммногогранника можно получить, разбив его на не имеющие общих внутренних точек тетраэдры (триангуляция) и суммировав их объемы.
Если в многогранник можновписатьшар, тообъем многогранника равен: , где R – радиус вписанного шара, S полн. – площадь полной поверхности многогранника.

 

Пример 1. Чашка диаметром 8 см и высотой 10 см вмещает 0.5 литра воды. Каких размеров должна быть подобная чашка, вмещающая 4 литра воды?

Решение: поскольку чашки – подобные цилиндры, то отношение их объёмов равно отношению кубов соответствующих отрезков (в нашем случае – высот и диаметров чашек). Следовательно, высота h новой чашки находится из отношения:(h /10)³ =4/0,5, т.е. h ³=8·10³, откуда h =20 см;

Аналогично, для диаметра d получим: (d /8)³ =4/0,5, т.е. d ³=8·8³, откуда d =16 см.

Пример 2. Во сколько, примерно, раз великан ростом в 2 м тяжелее карлика ростом в 1 м?

Решение: т.к. как фигуры человеческого тела приблизительно подобны, то при вдвое большем росте человек имеет объем не вдвое, а в 8 раз больший. Значит, наш великан весит больше карлика в 8 раз. Самый высокий великан, о котором сохранились сведения, был один житель Эльзаса ростом в 275 см – на целый метр выше человека среднего роста. Самый маленький карлик имел высоту меньше 40 см, т.е. был ниже эльзасца круглым счетом в 7 раз. Поэтому если бы на одну чашку весов поставить великана – эльзасца, то на другую надо бы для равновесия поместить 7·7·7=343 карлика, т.е. целую толпу.

Пример 3. Продаются два арбуза разных размеров. Один на четвертую долю шире другого, а стоит он в полтора раза дороже. Какой из них выгоднее купить?

Решение: объем большого арбуза превышает объем меньшего в 1,25·1,25·1,25=125/64 раза, т.е. почти вдвое. Выгоднее значит купить крупный арбуз, он дороже только в полтора раза, а съедобного вещества в нем больше раза в два.

 

Задания для самостоятельного решения:

Решите следующие задачи:

1) Строительный кирпич весит 4 кг. Сколько весит игрушечный кирпичик из того же материала, все размеры которого в 4 раза меньше?

2) Продаются две дыни одного сорта. Одна окружностью 60, другая – 50 см. Первая в полтора раза дороже второй. Какую дыню выгоднее купить?

3) Мякоть вишни окружает косточку слоем такой же толщины, как и сама косточка. Будем считать, что и вишня и косточка имеют форму шариков. Можете ли вы сообразить в уме, во сколько раз объем сочной части вишни больше объема косточки?

4) Башня Эйфеля в Париже, 300 м высоты, сделана целиком из железа, которого пошло на нее около 8000000 кг. Я желаю заказать точную железную модель знаменитой башни, висящую всего 1 кг. Какой она будет высоты?

5) Что тяжелее: стакан сахарного песку или такой же стакан колотого сахара?

6) Почему лучина загорается скорее, чем толстое полено, от которого она отколота?

7) Металлический шар радиусом 100мм надо перелить в цилиндр, высота которого равна 100мм. Найдите длину радиуса основания цилиндра.

8) Стаканчик для мороженного конической формы имеет 12см глубину и 5см по диаметру верхней части. На него сверху положили две ложки мороженного в виде полушарий диаметра 5см. Переполнит ли мороженное стаканчик если позволить ему растаять.

9) Инженер, рост которого 180см пришел рассмотреть новую сферическую цистерну для хранения воды. Он забрался в пустую цистерну, и, когда он поднялся на место, находящееся в 5м 40см над точкой, в которой цистерна упирается на землю, его голова коснулась верхнего края цистерны. Зная, что город потребляет в час 40тысяч литров воды, он немедленно рассчитал, на сколько часов может хватить полной цистерны. Как он это сделал и как он получил результат.

10) На полке в магазине стоят две банки земляничного варенья одного и того же сорта. Одна банка в 2 раза выше другой, но зато её диаметр в 2 раза меньше. Высокая банка стоит 23 цента, а низкая 43 цента. Какую купить выгоднее?

11) Основание прямого кругового конуса имеет диаметр 12 см, а высота конуса равна 12см. Конус наполнили водой, затем в конус опустили шар так, что он оперся на стенки конуса. Над водой при этом оказалось ровно половина шара. Сколько воды осталось в конусе после того, как шар был вынут?

Контрольные вопросы:

1. Чему равны объемы равных тел?

2. Чему равно отношение объемов подобных тел?

3. Чему равно отношение объемов призм, пирамид?

 

Практическое занятие