Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков
Цель работы: обучающийся должен: знать: - определение точек максимума (минимума) функции; - зависимость поведения функции от знака первой производной; уметь: - применять первую производную для нахождения промежутков монотонности функции; - находить наименьшее, наибольшее значение функции на отрезке.
Сведения из теории: Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо: 1) найти критические точки, принадлежащие заданному промежутку, и вычислить значения функции в этих точках; 2) найти значения функции на концах промежутка; 3) сравнить полученные значения; тогда наименьшее и наибольшее из них являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции в рассматриваемом промежутке.
Пример 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке [-2; 0]. Решение: вычислим критические точки функции, принадлежащие заданному промежутку, с помощью первой производной: Т.к. -3 [-2; 0], х =-1 – критическая точка. , . Вычислим значения функции на концах промежутка: , . у (0)=0. Сравним полученные значения: наименьшее значение функции равно и достигается ею во внутренней точке промежутка, а наибольшее значение равно 0 и достигается на правом конце промежутка. Задания для самостоятельного решения: Найдите наименьшее и наибольшее значения функций в заданных промежутках: 1) на промежутке [0; 6]; 2) на промежутке [-2; 2]; 3) на промежутке [1; 3]; 4) на промежутке [-1; 6]; 5) на промежутке [-4; 4]; 6) на промежутке [0; 3]; 7) на промежутке [-4; -1]; 8) на промежутке [-3; 1]; 9) на промежутке [-5; 0]. Контрольные вопросы: 1. Сформулируйте правила вычисления наименьшего и наибольшего значения функции на промежутке. Практическое занятие Производные обратной функции и композиции функции. Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах Цель работы: обучающийся должен: знать: - систему и определение производной, второй производной и производных высших порядков; - табличные решения производных элементарных функций, в том числе обратных тригонометрических функций; - правила вычисления производной сложной функции; уметь:
- находить производную сложной функции; - находить вторую производную и производную высших порядков.
Сведения из теории: Производная сложной функции Пусть функция , х (а; b), имеет производную в точке х0 (а; b), а функция имеет производную в точке . Тогда сложная функция имеет производную в точке х0, которая вычисляется по формуле: . Пример 1. Вычислите производную функции . Решение: представим заданную функцию как композицию квадратичной функции и степенной ; Производные высших порядков Вторая производная это производная от первой производной, т.е. , и т.д. Производные высших порядков обозначаются римскими цифрами. Пример 2. Найти четвертую производную . Решение: вычисляем последовательно производные:
Задания для самостоятельного решения: Вычислите значение «сложной» производной в указанной точке:
Контрольные вопросы: 1. Сформулируйте правила вычисления производных сложной функции. 2. Что называется второй производной данной функции?
Практическое занятие Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах
Цель работы: обучающийся должен: знать: - определение предела функции; - свойства и правила вычисления пределов функции; уметь: - вычислять пределы функции в точке, на бесконечности.
Сведения из теории: Предел функции Число А называют пределом функции f (x) в точке а если при х → а, f (x) → А. Бесконечно малые и бесконечно большие функции Функция f (x) называется бесконечно малой при х → а, если Функция f (x) называется бесконечно большой при х → а, если
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций Если функции f (x) и g (x) бесконечно малые при х → а, то (f (x)+ g (x)) бесконечно малая при х → а. Если функция f (x) бесконечно малая при х → а и g (x) – ограниченная, то – бесконечно малая.
Если существует , а g (x) – бесконечно большая при х → а, то ; . Если при х → а, f (x) – бесконечно малая, то – бесконечно большая. Если при х → а, f (x) – бесконечно большая, то – бесконечно малая.
Теоремы о пределах Если существуют пределы функций f (x) и g (x), то существует предел суммы (разности) этих функций, который равен сумме (разности) пределов функций f (x) и g (x): . Если существуют пределы функций f (x) и g (x), то существует предел произведения этих функций, который равен произведению пределов этих функций: . Если существуют пределы функций f (x) и g (x) при х → а и предел g (x)≠0, то существует предел частного этих функций, который равен отношению их пределов: . Следствие: постоянный множитель можно вынести за знак предела: . Пример 1. Вычислить предел . Решение: здесь применима теорема о пределе частного.Разложим на множители квадратный трехчлен, для этого достаточно найти корни х 1 и х 2 квадратного уравнения ах 2+ bх + с = а (х – х 1)·(х – х 2): 9 х 2+8 х –1=9·(х - )·(х +1). Под знаком предела сократим одинаковые множители и перейдем к пределу:
Пример 2. Вычислить предел Решение: обнаружив неопределенность , раскладываем многочлены в числителе и в знаменателе на множители: . Числитель дроби стремится к конечному пределу, равному 3, а знаменатель при х ®1 является бесконечно малой, тогда дробь при х ®1 является бесконечно большой. Для раскрытия неопределенности следует числитель и знаменатель разделить на одну и ту же старшую степень переменной. Пример 3. Вычислить предел . Решение: в заданном пределе числитель и знаменатель не имеют конечных пределов, имеем неопределенность . Поделив одновременно числитель и знаменатель на х 3, получим , т. к. каждая из дробей является бесконечно малой и стремится к нулю.
Задания для самостоятельного решения: Вычислите пределы:
Контрольные вопросы: 1. Что называется пределом функции в точке. 2. Сколько пределов может иметь функция в точке? 3. Сформулируйте теоремы о пределах.
Практическое занятие
|
|||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-11-27; просмотров: 102; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.225.10.116 (0.029 с.) |