Вторая производная, ее геометрический и физический смысл.

Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- общую схему построения графиков функций;

уметь:

- исследовать функцию с помощью первой, второй производной;

- строить графики функций.

 

Сведения из теории:

Общая схема построения графиков функций:

1) найти область определения функции;

2) найти точки пересечения графика функции с осями координат;

3) найти промежутки монотонности функции и экстремумы функции;

4) найти промежутки выпуклости и точки перегиба;

5) построить график функции, используя полученные результаты исследования.

Пример 1. Исследовать функцию  и построить ее график.

Решение: 1) Данная функция является многочленом (можно раскрыть скобки, получим многочлен третьей степени), поэтому она определена, непрерывна и дифференцируема при любых х. Поэтому область определения функции – вся числовая прямая.

2) Вычислим точки пересечения графика функции с осями координат: график функции у =(х +1)·(х –2)² пересекает ось О х при у =0, т. е. (х +1)·(х –2)²=0;

х +1=0 или (х –2)²=0;   х =-1 или х =2.

График функции у =(х +1)·(х –2)² пересекает ось О у при х =0, т. е.

у =(0+1)·(0–2)²=1·4=4.

Т.о. мы получили три точки: (–1; 0), (2; 0), (0; 4).

3) Найдем промежутки монотонности функции и ее экстремумы с помощью первой производной: у’ =((х +1)·(х –2)²) ’ =3 х ·(х –2).

Из уравнения у ¢ =0 найдем критические точки: 3 х ·(х –2)=0; х ₁=0, х ₂=2.

Результаты решения занесем в таблицу:

х	(–∞, 0)	0	(0; 2)	2	(2; +∞)
у ¢	+	0	–	0	+
у		4		0
	возрастает	max	убывает	min	возрастает

Функция возрастает на интервалах (–∞, 0) и (2, +∞), убывает на интервале (0; 2), имеет максимум при х=0 и минимум при х=2: у _max= у (0)=4; у _min= у (2)=0.

4) Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба с помощью второй производной: у ¢¢ =(3 х ·(х –2)) ’= 6·(х -1).

Кривая выпукла там, где у ¢¢ < 0, т. е. 6·(х –1) < 0, х < 1.

Кривая вогнута там, где у ¢¢ > 0, т. е. х > 1.

На интервале (–∞, 1) кривая выпукла; на интервале (1, +∞) – вогнута.

Точку перегиба найдем из уравнения у ¢¢ =0. Т. о., х =1 – абсцисса точки перегиба, т.к. эта точка разделяет интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Ордината точки перегиба: у (1)=2.

Результаты решения занесем в таблицу:

х	(–∞, 1)	1	(1; +∞)
у ¢¢	-	0	+
у		2
	выпукла	перегиб	вогнута

5) По полученным точкам строим график:

 

Задания для самостоятельного решения:

Исследуйте следующие функции и постройте их графики:

1 вариант .	2 вариант .	3 вариант .
4 вариант .	5 вариант .	6 вариант .
7 вариант .	8 вариант .	9 вариант .

 

Контрольные вопросы:

1. Что называется областью определения и областью значений функции?

2. Приведите примеры применения первой производной к исследованию функции.

3. Приведите примеры применения второй производной к исследованию функции.

4. Расскажите общую схему исследования и построения графика функции.

 

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА