Раздел 10. Интеграл и его применение

 

Практическое занятие

Первообразная и интеграл. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона—Лейбница. Примеры применения интеграла в физике и геометрии

 

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- таблицу значений неопределенных интегралов;

- суть метода замены переменной в неопределенном интеграле;

уметь:

- вычислять неопределенные интегралы методом замены переменной.

 

Сведения из теории:

Табличные значения неопределенных интегралов

Интегрирование методом замены переменной

Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) заключается в преобразовании интеграла  в интеграл , который легко вычисляется потаблице значений неопределенных интегралов.

Для нахождения интеграла  заменяем переменную x новой переменной t. Дифференцируя равенство, получаем выражение d х.

После того как интеграл относительно новой переменной t будет найден, с помощью обратной подстановки он приводится к переменной х.

Пример 1. Вычислите интеграл методом замены переменной: .

Решение: с помощью замены части подынтегрального выражения приведем заданный интеграл к табличному виду:

.

Пример 2. Вычислите интеграл методом замены переменной: .

Решение: с помощью замены части подынтегрального выражения приведем заданный интеграл к табличному виду:

 

.

Определенный интеграл - это ЧИСЛО, значение которого вычисляется по формуле Ньютона - Лейбница: .

- это значение первообразной функции в точке , и, соответственно, - это значение первообразной функции в точке .

Для нас с точки зрения решения задач важное значение имеет геометрический смысл определенного интеграла.

Рассмотрим фигуру, изображенную на рисунке:

Фигура, ограниченая сверху графиком функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ называется криволинейной трапецией.

Геометрический смысл определенного интеграла:

Определенный интеграл - это число, равное площади криволинейной трапеции - фигуры, ограниченой сверху графиком положительной на отрезке функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ.

Решим задачу из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

Пример 1. На рисунке изображён график некоторой функции . Функция — одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение: Закрашенная фигура представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ.

Площадь этой криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

, где - первообразная функции .

По условию задачи , поэтому, чтобы найти площадь фигуры, нам нужно найти значение первообразной в точке -8, в точке -10, и затем из первого вычесть второе.

Замечу, что в этих задачах очень часто возникают ошибки именно в вычислениях, поэтому советую аккуратно и подробно их записывать, и ничего не считать "в уме".

=

=

  

Задания для самостоятельного решения:

№1. Вычислите следующие интегралы методом замены переменной:

1 вариант 1) ; 2) ; 3) ; 4) .	2 вариант 1) ; 2) ; 3) ; 4) .	3 вариант 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
4 вариант 1) ; 2) ; 3) ; 4) .	5 вариант 1) ; 2) ; 3) ; 4) .	6 вариант 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
7 вариант 1) ; 2) ; 3) ; 4) .	8 вариант 1) ; 2) ; 3) ; 4) .	9 вариант 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

№2. Вычислите площадь фигур, ограниченных линиями:

Контрольные вопросы:

1. Какая функция называется первообразной для функции f (x), при x  (a; b)?

2. Что называется неопределенным интегралом?

3. Перечислите основные формулы интегрирования.

4. Сформулируйте суть метода непосредственного интегрирования.

5. Сформулируйте суть метода замены переменной.

Практическое занятие

Числовая последовательность, способы ее задания, вычисления членов последовательности. Предел последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- способы задания последовательностей;

- свойства числовых последовательностей;

уметь:

- вычислять члены последовательностей по общему члену;

- задавать формулой общий член последовательности.

 

Сведения из теории:

Числовая последовательность – функция вида y = f (x), x Є N, где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f (n) или y ₁, y ₂, …, y_n, ….

Значения y ₁, y ₂, y ₃,…называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Пример 1. Вычислить первые три значения для функции y = n ².

Решение: подставляя в y = n ² значения n =1, n =2, n =3 получим первые три значения функции: y ₁=1²=1; y ₂=2²=4; y ₃=3²=9.

 

Способы задания последовательностей

Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.

1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n -го члена: y_n = f (n).

Например, y_n =2 n –1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Например, «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Или, например, «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n -й член последовательности, если известны ее предыдущие члены.

Например, y ₁=3; y_n = y_n –1+4, если n =2, 3, 4,….

Здесь y ₁=3; y ₂=3+4=7; y ₃=7+4=11; ….

Можно видеть, что полученная в этом примере последовательность, может быть задана и аналитически: y_n =4 n –1.

Пример 2. Вычислить следующие четыре члена последовательности y ₁=1; y ₂=1; y_n = y_n –2+ y_n –1.

Решение: из формулы y_n = y_n –2+ y_n –1 видно, что каждый следующий член последовательности равен сумме двух предыдущих, поэтому:

y ₁=1; y ₂=1; y ₃=1+1=2; y ₄=1+2=3; y ₅=2+3=5; y ₆=3+5=8.

Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика. Задать формулой последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n -е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой:

.

Свойства числовых последовательностей

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Последовательность { y_n } называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего: y ₁< y ₂< y ₃< … < y_n < y_n +1< ….

Последовательность { y_n } называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего: y ₁ > y ₂ > y ₃ > … > y_n > y_n +1 > ….

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Например, y ₁=1; y_n = n ² – возрастающая последовательность, а y ₁=1;  – убывающая последовательность.

Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого n, выполняется равенство y_n = y_n + T. Число T называется длиной периода.

Например, последовательность y_n =(-1) ⁿ периодична с длиной периода T =2.

Задания для самостоятельного решения:

1 вариант 1) Найдите первые пять членов последовательности, и определите ее вид по его заданному общему члену: 2) Найдите n -й член последовательности по ее данным первым членам:	2 вариант 1) Найдите первые пять членов последовательности, и определите ее вид по его заданному общему члену: 2) Найдите n -й член последовательности по ее данным первым членам:	3 вариант 1) Найдите первые пять членов последовательности, и определите ее вид по его заданному общему члену: 2) Найдите n -й член последовательности по ее данным первым членам:
4 вариант 1) Найдите первые пять членов последовательности, и определите ее вид по его заданному общему члену: 2) Найдите n -й член последовательности по ее данным первым членам:	5 вариант 1) Найдите первые пять членов последовательности, и определите ее вид по его заданному общему члену: 2) Найдите n -й член последовательности по ее данным первым членам:	6 вариант 1) Найдите первые пять членов последовательности, и определите ее вид по его заданному общему члену: 2) Найдите n -й член последовательности по ее данным первым членам:
7 вариант 1) Найдите первые пять членов последовательности, и определите ее вид по его заданному общему члену: 2) Найдите n -й член последовательности по ее данным первым членам:	8 вариант 1) Найдите первые пять членов последовательности, и определите ее вид по его заданному общему члену: 2) Найдите n -й член последовательности по ее данным первым членам:	9 вариант 1) Найдите первые пять членов последовательности, и определите ее вид по его заданному общему члену: 2) Найдите n -й член последовательности по ее данным первым членам:

 

Контрольные вопросы:

1. Что называется числовой последовательностью?

2. Перечислите способы задания последовательностей.

3. Перечислите свойства числовых последовательностей.

 

Практическое занятие