Решение практических задач с применением вероятностных методов

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- формулы для вычисления математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения дискретной случайной величины;

уметь:

-  вычислять математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины.

Сведения из теории:

Случайные величины (дискретные и непрерывные) характеризуются своим законом распределения. Заметим, что это исчерпывающая характеристика в том смысле, что в законе распределения содержится вся информация о случайной величине. Никакой сколь угодно сложной математической обработкой наблюдаемых значений случайной величины о ней невозможно получить сведения, не содержащиеся в законе распределения. Однако этот закон часто неизвестен и о нем приходится судить на основе каких-то приближенных оценок. С другой стороны, для многих практических задач такая информация является избыточной: достаточно знать лишь некоторые количественные характеристики закона распределения.

Простейшей, но очень важной характеристикой является математическое ожидание.

Пусть, например, X - дискретная случайная величина распределена по закону:

X	х 1	х 2	…	хп
P	p1	p2	…	рп

 

Тогда ее математическое ожидание М(Х) определяется равенством

М (Х) = х₁ p ₁ + х₂ p ₂ +…+ х_п р_п.

Обратим внимание на то, что хотя конкретные значения величины X являются случайными, математическое ожидание М(Х) случайным не является.

Пусть, например, испытание состоит в бросании игрального кубика. Поскольку выпадение каждой грани равновозможно, Pi =1/6. Следовательно, математическое ожидание числа выпавших очков равно

М(Х) = 1/6(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 21/6 = 3,5.

Число, близкое к этому, получится, если реально бросать кубик много раз и подсчитать сумму очков, деленную на число бросков.

Математическое ожидание и среднее арифметическое случайной величины - важные характеристики закона распределения, но, зная только их, мы имеем еще весьма одностороннее представление о нем. Не ясно, например, как велики могут быть отклонения значений величины от этих характеристик. Ведь одно и то же значение среднего арифметического наблюдаемых значений может получиться как в случае, когда все значения находятся вблизи среднего, так и в случае сколь угодно больших отклонений от него в сторону больших и меньших величин.

Для того чтобы характеризовать в среднем величины таких отклонений, вводится еще один важный параметр закона распределения, называемый дисперсией.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D { X) = М [ Х- М(Х) ] ².

Так же дисперсию можно вычислить и по формуле:

D { X) = М (Х²)- [ М(Х) ] ²,

т. е. как разность математического ожидания квадрата значений случайной величины и квадрата её математического ожидания.

Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D (X + Y) = D (X) + D (Y).

Многие случайные величины, встречающиеся на практике, имеют размерность. Например, величины, которые встречаются при различных измерениях. Тогда, если, скажем, случайная величина измеряется в метрах, то дисперсия будет иметь размерность м². Поэтому вводится еще одна характеристика, называемая средним квадратическим отклонением, обозначается: . ее размерность совпадает с размерностью случайной величины.

Пример 1. Пусть Х – число очков, выпадающих при одном бросании игральной кости. Найти дисперсию случайной величины Х.

Решение: случайная величина Х – число очков принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6. Составим закон её распределения:

 

Xi	1	2	3	4	5	6
Pi

 

Тогда её математическое ожидание: М(Х)= .

Найдем отклонения для х₁, х₂, …, х₆: х₁⁰ =1-3,5; х₂⁰ =2-3,5; х₃⁰ =3-3,5; х₄⁰ =4-3,5; х₅⁰ =5-3,5; х₆⁰ =6-3,5.

Вычислим дисперсию:

.

Задания для самостоятельного решения:

1 вариант 1) Монету подбрасывают 7 раз. Найти математическое ожидание, дисперсию числа появлений герба. 2) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной таблицей распределения: X 1 3 4 6 7 р 0,1 0,1 0,3 0,4 0,1	2 вариант 1) Игральную кость подбросили 5 раз. Найти математическое ожидание, дисперсию числа невыпадения единицы. 2) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной таблицей распределения: X -2 -1 0 1 2 р 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1
3 вариант 1) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной таблицей распределения: X 1 4 7 10 13 р 0,1 0,1 0,3 0,4 0,1 2) Монету подбрасывают 6 раз. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – выпадения «решки».	4 вариант 1) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной таблицей распределения: X 1 2 3 4 5 р 0,15 0,17 0,35 0,21 0,12 2) Монету подбрасывают 5 раз. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – выпадения герба.
5 вариант 1) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной таблицей распределения: X 10 30 40 60 70 р 0,3 0,13 0,45 0,1 0,02 3) Игральную кость подбросили 7 раз. Найти математическое ожидание, дисперсию числа невыпадения единицы.	6 вариант 1) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной таблицей распределения: X 1 5 10 15 20 р 0,1 0,11 0,2 0,22 0,37 3) Игральную кость подбросили 5 раз. Найти математическое ожидание, дисперсию числа невыпадения единицы.
7 вариант 1) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной таблицей распределения: X 10 20 30 р 0,125 0,375 0,5 2) Правильная треугольная пирамида имеет пронумерованные грани 1, 2, 3, 4. Запишите закон распределения для выпадения номера грани, на которой стоит пирамида.	8 вариант 1) Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной таблицей распределения: X 10 30 50 р 0,175 0,35 0,475 2) Игральный кубик имеет пронумерованные грани 1, 2, 3, 4, 5, 6. Запишите закон распределения для выпадения номера грани, на которой стоит кубик.

Контрольные вопросы:

1. Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины?

2. Что называетсядисперсиейдискретной случайной величины?

Практическое занятие

История развития комбинаторики, теории вероятностей и статистики и их роль в различных сферах человеческой жизнедеятельности. Правила комбинаторики. Решение комбинаторных задач. Размещения, сочетания и перестановки. Бином Ньютона и треугольник Паскаля. Прикладные задачи

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- принцип построения треугольника Паскаля;

уметь:

- возводить двучлен в любую натуральную степень.

 

Сведения из теории:

Треугольник Паскаля – бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван треугольник в честь Блеза Паскаля.

Первая строка в этой таблице содержит биномиальные коэффициенты для n =1; вторая – для n =2; третья – для n =3 и т.д.

Пример 2. Разложить выражение: (a+b)⁷.

Решение: мы можем получить результат моментально, используя из таблицы разложение по седьмой строке (т.к. седьмая степень двучлена):

.

Задача для самостоятельного решения №1. Построить треугольник Паскаля до двадцатой строки.

Задача для самостоятельного решения №2. Разложить выражение: (a+b) ⁿ, где n – номер по журналу (если Ваш номер 1-7, то прибавьте к номеру число 5).

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте принцип построения треугольника Паскаля.

Практическое занятие