Дискретная случайная величина, закон ее распределения

Цель работы:

студент должен:

знать:

- определение независимых событий;

- теорему умножения вероятностей;

уметь:

- вычислять вероятность независимых событий.

 

Сведения из теории:

Пусть вероятность события В не зависит от появления события А.

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

Р_A (В) = Р (В).

Итак, если событие В не зависит от события A, то событие A не зависит от события В; это означает, что свойство независимости событий взаимно.

Для независимых событий теорема умножения имеет вид:

Р (АВ) = Р (А)· Р (В),

т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.

На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С.

Пример 1. Пусть в урне имеется 4 шара, окрашенные: один – в красный цвет (А), один – в синий цвет (В), один – в черный цвет (С) и один – во все эти три цвета (АВС). Чему равна вероятность того, что извлеченный из урны шар имеет красный цвет?

Решение: т.к. из четырех шаров два имеют красный цвет, то Р (А)=2/4=1/2.

Рассуждая аналогично, найдем Р (В)=1/2, Р (С)=1/2.

Допустим теперь, что взятый шар имеет синий цвет, т. е. событие В уже произошло. Изменится ли вероятность того, что извлеченный шар имеет красный цвет, т. е. изменится ли вероятность события А?

Из двух шаров, имеющих синий цвет, один шар имеет и красный цвет, поэтому вероятность события А по-прежнему равна 1/2. Другими словами, условная вероятность события А, вычисленная в предположении, что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Следовательно, события А и В независимы.

Аналогично придем к выводу, что события A и С, В и С независимы. Итак, события А, В и С попарно независимы.

Независимы ли эти события в совокупности? Оказывается, нет.

Действительно, пусть извлеченный шар имеет два цвета, например синий и черный. Чему равна вероятность того, что этот шар имеет и красный цвет? Лишь один шар окрашен во все три цвета, поэтому взятый шар имеет и красный цвет.

Т.о., допустив, что события В и С произошли, приходим к выводу, что событие А обязательно наступит. Следовательно, это событие достоверное и вероятность его равна единице.

Другими словами, условная вероятность Р_BC (A)=1 события А не равна его безусловной вероятности Р (А)=1/2. Итак, попарно независимые события А, В, С не являются независимыми в совокупности.

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Р (А ₁ А ₂... А _n) = Р (А ₁)· Р (А ₂)·...· Р (А _n).

Пример 2. Найти вероятность совместного появления герба при одном бросании двух монет.

Решение: вероятность появления герба первой монеты (событие А): Р (А)=1/2.Вероятность появления герба второй монеты (событие В): Р (В)=1/2.События А и В независимые, поэтому искомая вероятность по теореме умножения равна:

Р (АВ)= Р (А)· Р (В)=1/2·1/2=1/4.

Пример 3. Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение: вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие А):   P (A)=8/10=0,8.Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие В):   Р (В)=7/10=0,7.

Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие С): Р (С)=9/10=0,9.

Так как события А, В и С независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения) равна:

Р (АВС)= Р (А)· Р (В)· Р (С)=0,8·0,7·0,9=0,504.

 

Задания для самостоятельного решения:

Решите задачи:

1) Вероятность того, что в магазине будет продана пара мужской обуви 44-го размера, равна 0,12; 45-го – 0,04; 46-го и большего – 0,01. Найти вероятность того, что будет продана пара мужской обуви не меньше 44-го размера.

2) При условиях задачи 1 найти вероятность того, что очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера.

3) В ящике находятся 5 резцов: два изношенных и три новых. Производится два последовательных извлечения резцов. Определить условную вероятность появления изношенного резца при втором извлечении при условии, что извлеченный в первый раз резец в ящик не возвращается.

4) В урне находятся 5 белых шаров, 4 черных и 3 синих. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его в урну. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором - черный (событие В) и при третьем – синий (событие С).

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение независимых событий.

2. Какие события называются попарно независимыми?

Практическое занятие