Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств

Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- этапы решения уравнений графическим методом;

уметь:

- строить графики элементарных функций;

- решать уравнения различными способами.

Сведения из теории:

Метод оценки области значений

Суть данного метода в сравнении областей значений выражений, входящих в уравнение. Часто такой анализ позволяет легко решать сложные уравнения, содержащие различные выражения (рациональные, тригонометрические, логарифмические, показательные и др.). Разберем это на конкретном примере.

Пример 1. Решите уравнение, используя метода оценки области значений: .

Решение: рассмотрим функцию . Известно, что , поэтому . Итак, функция может принимать значения только из промежутка [0; 1].

Рассмотрим теперь функцию . Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина расположена в точке (0; 1).

Т.е. область значений данной функции (те значения, которые может принимать переменная у) представляет собой промежуток [1; +∞).

Т.о. выражения, стоящие справа и слева от знака равенства в исходном уравнении, могут оказаться равными, только если их значения окажутся равными 1, причем при одном и том же значении х. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что это условие выполняется при .

Действительно,  и . При всех остальных значениях х функция больше 1. Значит  – единственный корень уравнения.

Задача для самостоятельного решения №1. Решите уравнение с использованием метода оценки области значений: .

Пример 2. Решите уравнение: .

Решение: определим область допустимых значений (те значения, которые может принимать переменная х в данном уравнении). Исходим из того, что подкоренное выражение не может быть отрицательным:

.

Решая систему методом интервалов, получаем:

Т.о. область допустимых значений содержит одно единственное значение х =-2. Является ли это значение корнем уравнения, проще всего проверить прямой подстановкой:

,

.

Т.е. х =-2 не является корнем уравнения.

Задача для самостоятельного решения №2. Решите уравнение: .

Пример 3. Решите уравнение: .

Решение: помножим уравнение на .

Вообще говоря, это преобразование не является равносильным, даже в области допустимых значений. Ведь могут найтись такие значения х при которых это выражение обратится в нуль. При таком преобразовании могут появиться посторонние корни, поэтому полученные ответы нужно будет проверить непосредственной подстановкой. Но главное, что в результате такого преобразования не произойдет потери корней.

Итак,

,

.

Выражение во вторых скобках не может быть равно нулю. Действительно, оба корня, по крайней мере, неотрицательны, поэтому если к их сумме прибавить 1, получится положительное выражение. То есть остается, что

 или .

Непосредственной подстановкой убеждаемся, что это корень данного уравнения:

, 0=0. Ответ: 2.

Задача для самостоятельного решения №3. Решите уравнение: .

Контрольные вопросы:

1. Поясните суть метода оценки области значений при решении уравнений.

2. Какие нестандартные способы решения уравнений вы знаете?

 

Практическое занятие