Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- формулы для вычисления площадей поверхностей цилиндра, конуса, сферы, подобных фигур;

уметь:

- уметь вычислять площади поверхностей цилиндра, конуса, сферы, подобных фигур.

 

Сведения из теории:

Площади тел вращения

Площадь боковой поверхности цилиндра S =2 πRH Площадь полной поверхности цилиндра S =2 So сн. + S бок. =2 πR (R + H)
Площадь боковой поверхности конуса S = πRl Площадь полной поверхности конуса S = So сн. + S бок. = πR (R + l)
Площадь боковой поверхности усеченного конуса S бок. = π (R + r) l Площадь полной поверхности усеченного конуса S полн. = π (R ^2 + r ^2 +(R + r) l)
Площадь поверхности сферы S =4 πR ^2 Площадь сферической поверхности сферического сегмента S бок. =2 πRH Площадь полной поверхности сферического сегмента S полн. = S бок. + πr ^2 =2 πRH . + πr ^2
Поверхность вращения отрезка АВ, не имеющего с осью l общих внутренних точек, равна произведению проекции этого отрезка на ось и длины окружности, радиусом которой служит отрезок серединного перпендикуляра отрезка с концами на оси и на отрезке
Отношение поверхностей подобных тел равно квадрату коэффициента подобия

Пример 1. В "Путешествии Гулливера" рассказывается о лилипутах, рост которых в 12 раз меньше нормального. Если на костюм человека нормального роста идет 4 м ² материала, то, сколько материала идет на костюм лилипута?

Решение: коэффициент подобия =12², т. е. на костюм лилипута идет в 144 раза меньше. Т.о., 40 000 см ² : 144=280 см ².

Пример 2. Один человек на 1/4 ниже другого. Каково отношение поверхностей их тел, считая, что оба тела геометрически подобны?

Решение: поверхность человека меньшего роста составляет  поверхности более высокого.

Пример 3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 21π, а диаметр основания равен 7. Найдите высоту цилиндра.

Решение: высота цилиндра равна:

Пример 4. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен . Найдите образующую конуса.

Решение: высота конуса перпендикулярна основанию и равна радиусу сферы. Тогда по теореме Пифагора получаем:

Радиус сферы равен  поэтому образующая равна:

 

Задания для самостоятельного решения:

Решите задачи:

1) Сторона первого квадрата больше стороны второго квадрата в 2 раза (в 5 раз). Во сколько раз площадь первого квадрата больше площади второго квадрата?

2) Сторона первого квадрата составляет 1/3 (0,1) стороны второго квадрата. Какую часть площадь первого квадрата составляет от площади второго квадрата?

3) Коэффициент подобия в подобных многоугольниках равен 4 (1/5; 0,4; 2,5). Чему равно отношение их площадей?

4) Отношение площадей подобных многоугольников равно 36 (100; 0,09). Чему равно отношение сходственных сторон этих многоугольников?

5) Площадь боковой поверхности цилиндра равна 18π, а диаметр основания равен 9. Найдите высоту цилиндра.

6) Известно, что отношение объемов двух подобных прямоугольных параллелепипедов равно 8 (большего к меньшему). Высота меньшего параллелепипеда равна 6 см. Чему равна высота большего параллелепипеда?

7) Эйфелева башня, высотою 300 метров, весит 8000000 кг. Сколько должна весить модель этой башни, из того же материала, вышиной 1,5 м?

8) Объем данного правильного тетраэдра равен 128 см³. Найдите объем правильного тераэдра, ребро которого в 4 раза меньше ребра данного тетраэдра.

9) Игрушечное ведерко вдесятеро ниже настоящего такой же формы, вмещающего 30 фунтов воды. Сколько воды вмещает игрушечное ведерко?

 

Контрольные вопросы:

1. Запишите формулы площадей поверхности цилиндра, конуса, шара.

2. Чему равно отношение поверхностей подобных тел?

 

Практическое занятие