Неопределенные и определенные интегралы

Задание №1

 

Найти неопределенные интегралы.

 

Решение:

1 способ метод подстановки

Сделаем замену переменной , , ,

выражаем переменную , находим нужную для подстановки .

находим дифференциал функции ,

 

2 способ метод подстановки

Можно сделать и такую замену переменной ,

выражаем переменную , находим нужную для подстановки .

находим дифференциал функции ,

3 способ метод внесения под знак дифференциала

 в подынтегральном выражении можно увидеть, что внося  под дифференциал можно получить , записывая его подобным образом как знаменатель без корня получаем , можно записать

 

Для решения данного интеграла как и в предыдущих необходимо посмотреть, а чем является подынтегральное выражение. В данном случае это произведение двух функций , как известно интеграл от двух функций посчитать никак нельзя! Можно взять интеграл только от одной функции. Использую формулу преобразуем подынтегральное выражение к удобному выражению интеграл от которого легко берется

.

Заменим данное выражение в интеграле и решим интеграл как сумму интегралов

.

Другие способы решения данного интеграла гораздо больше увеличивают вычисления поэтому остановимся на выше приведенном методе.

 

Данный интеграл решим используя метод интегрирования по частям

 

2 способ

Если в данном интеграле сделать замену,

с учетом данных замен получаем выражение которое не улучшилось, на наоборот увеличило количество сомножителей . Плюс в данном примере в том, что здесь явно видно, что нужно использовать метод интегрирования по частям нежели чем в предыдущем примере

Получили тот же результат, но за гораздо больше действий. Выбор конечно в пользу первого способа.

Подынтегральное выражение представляет собой  правильную рациональную дробь, так как степень числителя меньше степени знаменателя. Интеграл от данной дроби разом найти не удастся. В этом случае необходимо дробь разложить на сумму простых дробей и затем найти интеграл от каждой дроби.

Для разложения дроби на сумму простейших используем метод неопределенных коэффициентов.

Для использования метода приравняем каждую скобку знаменателя к нулю , . Так как  корень этой скобки действительное число, то имеем дробь . Приравниваем ,  как видим корень мнимый, в данном случае дробь будет иметь вид .

В итоге имеем разложение

.

Приводим дроби к общему знаменателю и группируем слагаемые так чтобы

Приравниваем находим коэффициенты А, В и С.

 

 

Подставляем данные коэффициенты в дробь

Подставляем разложенную дробь в подынтегральное выражение

 

 Задание №2

Вычислить определенный интеграл методом замены переменной

Для решения подобных интегралов, в которых подынтегральная функция представляет собой дробно-иррациональное выражение используют замену переменной либо всего выражения с корнем либо слагаемое содержащее корень. Далее с помощью формулы Ньютона-Лейбница вычисляют определенный интеграл .

 

 Ответ:

 

Рассмотрим решение подобного примера

В данном примере также как и в предыдущем в первую очередь необходимо заменить корень любой переменной.

 

Ответ:

 

Рассмотрим еще один пример с дробно-иррациональным выражением

Как и в предыдущих интегралах заменим корень на переменную, чтобы корней не было вообще, если же корни появляются еще раз, то снова стоит заменить корень на уже другую переменную.

Ответ:

 

Задание №3

Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость.

 

Несобственный интеграл с бесконечным верхним или нижнем пределом интегрирования имеет один из видов

или

Решают несобственный интеграл в начале как обычный интеграл с определенными пределами, а затем вычисляют значение полученного интеграла с помощью предела. Если предел конечен, то предел сходится, если стремится к бесконечности, то не сходится.

 

Рассмотрим пример

 Так как предел стремится к бесконечности, следовательно, интеграл расходится.

Ответ: расходится.

Так как предел равен конечному числу, то интеграл сходится.

Ответ: сходится.

 

Задание №4

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями.

 

В данном задании обязательно необходимо нарисовать рисунок. Увидеть ту область, площадь которой надо найти. Для нахождения площади фигуры воспользоваться вычислением определенного интеграла возможны два вида формул в зависимости от вида области интегрирования

 

1 случай

 

Если стрелы вы выбираете снизу вверх, это значит, что переменная у меняется функциями от y₁=g(x) до y₂=f(x), тогда переменная х меняется строго числами от x₁=a до x₂=b.             

 

2 случай

Если стрелы вы выбираете слева направо, это значит, что переменная у меняется функциями от x₁=n(y) до x₂=m(y), тогда переменная y меняется строго числами от y₁=c до y₂=d.   

 

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями  и .

 

Для начала построим графики функций  и . Выразим из первого равенства

а из второго . Вообще из задания непонятно, какую переменную через какую надо выражать, мы идем по пути меньшего сопротивления. Выражаем переменную ту у которой нет степени, чтобы, например, не вычислять корень из чисел.

Построим таблицу значений для первой функции  подбирая всевозможные у. Графиком данной функции является парабола, имеющая симметрию относительно оси х.

 

 

х	4/3	1/3	0	1/3	4/3
у	-2	-1	0	1	2

 

Построим таблицу значений для первой функции . Графиком данной функции является парабола имеющая симметрию относительно оси у.

х	-2	-1	0	1	2
у	4/3	1/3	0	1/3	4/3

 

Найдем точки пересечения двух функций.

Решим систему уравнений

, , ,  и  и  и .

Имеем две точки пересечения  и .

Изображаем графики функций  и  по точкам.

 

Направления пути интегрирования можно брать в данном случае либо слева направо либо снизу вверх. Оба случая подойдут.

Предположим будем двигаться слева направо, это значит переменная х будет меняться функциями, а переменная у числами.

 

Итак, область задается неравенствами , .

Используем формулу

Ответ: 3

 

Дифференциальные уравнения

Решить дифференциальные уравнения. Найти частное решение (интеграл), если указаны начальные условия.

1.

При решении любого дифференциального уравнения необходимо сначала ''увидеть'' к какому виду дифференциального уравнению оно относится.

Преобразуем дифференциальное уравнение , ,  - данное дифференциальное уравнение относится к виду дифференциальных уравнений 1-го порядка с разделяющимися переменными так как оно имеет вид , где .

Разделяем переменные

 дифференциальное уравнение с разделенными переменными

Интегрируем

,

,

,

 - общее решение дифференциального уравнения.

Определяем произвольную константу C. Для этого подставляем начальные условия  в общее решение.

, .

Подставляем  в общее решение.

 - частное решение дифференциального уравнения.

 

Проверка:

Получили тождество, значит наше решение найдено верно.

 

Ответ:

 

2.  преобразуем дифференциальное уравнение

 - имеем однородное дифференциальное уравнение первого порядка вида .

Делаем замену Подставляем замены в дифференциальное уравнение

 дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

 прологарифмируем обе части уравнения , .

Возвращаемся к замене

,

 общее решение дифференциального уравнения

Проверка:

 

Получили тождество, значит наше решение найдено верно.

 

Ответ:

 

3.  преобразуем дифференциальное уравнение

,  - дифференциальное уравнения вида , где .

Сделаем замену

, .

,

,

1.

.

2. Подставим в выражение , найденное .

, , , , .

3. Найденные  и . Подставляем в  получаем  общее решение дифференциального уравнения.

 

Проверка

 

Получили тождество, значит наше решение найдено верно.

Ответ:

 

4. .

Уравнение вида есть однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами вида .

записываем характеристическое уравнение

 и решаем его как обычное квадратное уравнение.

, следовательно, будем иметь комплексные корни.

, ,

Общее решение для такого типа уравнений с мнимыми корнями имеет вид

Для нашего случая

 общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Найдем частное решение

Подставляем начальные условия в общее решение .

- частное решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

 

Проверка

,

 

 

Ответ: .

4.  имеем дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

1. Сначала решают однородное дифференциальное уравнение

,

,

,

 оба корня действительные.

 общее решение однородного дифференциального уравнения

2.

Сравниваем правую часть функции  с её общим видом .

 будет равно , если

 поскольку есть одно совпадение с корнем , то .

Определяем максимальную степень из многочленов  => => .

Следовательно, .

Составляем макет частного решения неоднородного дифференциального уравнения

 подставляя в него найденные коэффициенты

.

Пользуясь методом неопределенных коэффициентов определяем чему равен коэффициент .

Находим производные

И подставляем данные производные в данное дифференциальное уравнение

Сокращаем на

Приводим подобные и определяем коэффициент А.

.

В итоге общее решение неоднородного уравнения имеет вид

.

 

Проверка

Ответ:

 

Задание №2

Решить систему дифференциальных уравнений с помощью характеристического уравнения.

 

 

Решать систему уравнений будем самым распространенным методом - методом подстановки.

Продифференцируем выражение  по переменной .

 (1).

Первое уравнение системы подставим в (1).

(2).

Из второго уравнения системы выразим x

,  и подставим его в уравнение (2).

 получили обычное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами в обычном штриховом виде которое имеет вид

.

Составляем характеристическое уравнение

 оба корня действительные.

 общее решение однородного дифференциального уравнения

Для нахождения переменной х найдем  и подставим в , получим

 

Ответ: , .

Ряды

Задание №3

Исследовать сходимость числовых рядов. Для знакопеременного ряда установить характер сходимости (абсолютная, условная).

 

 

 

1. Проверим сходимость ряда . Воспользуемся признаком Даламбера.

 так как предел равен единице, то вопрос о сходимости ряда не решен. Будем искать другие признаки сходимости ряда.

 

2. Воспользуемся интегральным признаком сходимости. Для того что пользоваться данным признаком необходимо выполнение двух условий.

Для данного ряда  запишем ряд состоящий, например, из 4 слагаемых и сравним каждый член с предыдущим, получим

 

1) то есть ряд убывает

2) то есть  есть непрерывная и невозрастающая функция.

Два условия выполнены, следовательно, можно пользоваться интегральным признаком сходимости.

 

 так как несобственный интеграл не имеет предела, следовательно, ряд расходится.

 

 

2. Проверим сходимость ряда . Воспользуемся признаком Даламбера.

 

, следовательно,

ряд сходится по признаку Даламбера.

 

3. Проверим сходимость ряда . Составим по данному ряду числовой ряд

 

 видно, что данный ряд знакопеременный. Для ответа на вопрос сходимости ряда воспользуемся признаком Лейбница

 

1.  члены ряда убывают по абсолютной величине

2.  предел модуля общего члена ряда стремится к нулю, следовательно, данный ряд сходится по признаку Лейбница.

 

Проверим сходимость ряда по абсолютной величине . То есть рассмотрим ряд

 

 Для ответа на вопрос о сходимости ряда воспользуемся интегральным признаком сходимости.

 

1) то есть ряд убывает

2) то есть  есть непрерывная и невозрастающая функция.

Два условия выполнены, следовательно, можно пользоваться интегральным признаком сходимости.

 

 так как несобственный интеграл не имеет предела, следовательно, ряд расходится.

 

Так как знакопеременный ряд сходится, а ряд составленный из абсолютных членов ряда расходится, то ряд называется условно сходящимся. 

 

Задание №4

Найти область сходимости степенного ряда.

 

Запишем в развернутом виде сумму ряда

 

Найдем радиус сходимости степенного ряда

То есть интервал сходимости ряда

Выясним поведение ряда на концах интервала

При  ряд принимает вид

Так как ряд знакочередующийся, то для определения сходимости ряда используем признак Лейбница.

1.  первое условие соблюдается

2.  второе условие соблюдено, следовательно, ряд сходится по признаку Лейбница.

При  ряд принимает вид

Для определения сходимости ряда используем, например, предельный признак сравнения.

Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом имеем

 общий член данного ряда и  общий член обобщенного гармонического ряда, который сходится так как 2>1.

 

то данный ряд как и гармонический сходится.

 

Ответ:

 

 

Контрольная работа №2

Интегралы

Задание №1

 

Найти неопределенные интегралы.

 

Вариант	Интегралы	Вариант	Интегралы
1		2
3		4
5		6
7		8
9		10
11		12
13		14
15		16
17		18
19		20
21		22
23		24
25
27		28
29		30
31		32
33		34

Задание №2

Вычислить определенные интегралы методом замены переменной.