Свойства неопределенного интеграла

 

1. .

2. .

Это равенство означает, что неопределенный интеграл от функции  состоит из первообразных функции , умноженных на число k.

3. .

Это равенство означает, что неопределенный интеграл от суммы  состоит из всевозможных сумм первообразных функций  и .

 

Задача интегрирования элементарных функций

 

Как известно, производная от элементарной функции является элементарной функцией и существует алгоритм ее нахождения. Для обратной операции интегрирования – ситуация иная. Первообразная элементарной функции может быть и неэлементарной функцией. Из неэлементарных функций состоят, например, важные для приложений интегралы

от «простых» на вид функций (отметим, что неэлементарность этих функций не помешала изучить их не хуже, чем, например, синус).

Тем ни менее, существует ряд приемов, позволяющих выразить некоторые интегралы в виде элементарных функций. Эти приемы основаны на преобразовании интегралов к интегралам из таблицы основных неопределенных интегралов, полученной «обращением» таблицы производных.

Таблица основных неопределенных интегралов

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

 

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

 

Пусть  – любая первообразная функции  на отрезке .

Число  не зависит от выбора конкретной первообразной. Оно называется определенным интегралом от функции  по отрезку  (или в  пределах от a  до b) и обозначается . Таким образом,

 –

формула Ньютона-Лейбница.

Справедливо следующее свойство линейности определенного интеграла:

,

.

Примеры решения задач

 

1.2.1. Убедиться, что функция  является первообразной функции  на .

◄ Действительно, . ►

1.2.2. Убедиться, пользуясь определением, что

.

◄ Так как , то . ►

1.2.3. Вычислить

◄ При вычислении этого интеграла применим свойства 2, 3 и табличный интеграл 2.

. ►

1.2.4. Вычислить .

◄ При вычислении этого интеграла применим тождественные преобразования (возведение суммы в квадрат и деление суммы на число), свойства 2, 3 и табличные интегралы 2 и 3.

. ►

1.2.5.  Вычислить .

◄ При вычислении этого интеграла применим тождественные преобразования, свойство 2 и табличный интеграл 11

= . ►

1.2.6.  Вычислить .

◄ При вычислении интеграла применим тождественные преобразования, свойство 2 и табличный интеграл 12.

. ►

1.2.7. Вычислить .

◄ Используем тождественные преобразования, свойство 2 и табличный интеграл 10.

. ►

1.2.8. Вычислить определенный интеграл .

◄ Так как , то по формуле Ньютона – Лейбница

. ►

1.2.9.  Вычислить определенный интеграл .

◄ Используем формулу Ньютона-Лейбница и формулу 7 таблицы интегралов: . ►

1.2.10. Вычислить определенный интеграл .

◄ Соответствующий неопределенный интеграл вычислен в примере 1.2.5. Поэтому

. ►

1.2.11. Вычислить определенный интеграл .

◄ Используем тригонометрическую формулу , свойство линейности определенного интеграла, табличные интегралы 1 и 8 и формулу Ньютона–Лейбница:

. ►

 

Метод замены переменных

С ведения из теории

 

Существует два варианта этого метода.