Содержащие квадратный трехчлен

Сведения из теории

Для вычисления интегралов вида

из квадратного трехчлена выделяется полный квадрат:

и делается замена переменных .

 

Примеры решения задач

 

4.2.1. Вычислить .

◄ Выделим полный квадрат в квадратном трёхчлене:

.

Сделаем в интеграле подстановку . Тогда , ,

(используем табличные интегралы 3 и 11)

= .►

4.2.2. Вычислить .

◄ Выделим полный квадрат в квадратном трёхчлене

.

 (табличные интегралы 3 и 12) =

. ►

 

ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ

Сведения из теории

Рациональной дробью (рациональной функцией) называется отношение многочленов

.

Если , то дробь называется правильной, если  то неправильной.

Рациональные дроби следующих типов называются простейшими дробями.

(1) ;                   (2) ,

(3) ,         (4) .

Простейшие дроби типов (1) и (2) интегрируются просто:

;

.

Метод интегрирования простейших дробей типа (3) был изложен в п. 4. Интегрирование дробей типа (4) довольно громоздко и здесь излагаться не будет.

Произвольную правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей. Как это сделать будет показано ниже в п. 5.2 на примерах. Поэтому интегрирование правильных дробей сводится к интегрированию простейших дробей.

С помощью деления “уголком” неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби (см. пример 5.2.4); тем самым интегрирование неправильной дроби сводится к рассмотренной выше задаче интегрирования правильной дроби.

Примеры решения задач

 

5.2.1. Вычислить .

◄ Рассматриваемая дробь правильная, так как степень числителя меньше степени знаменателя.

Знаменатель дроби разложим на множители. Сначала вынесем общий множитель x: . Для разложения на множители квадратного трехчлена  надо найти его корни:

, , .

Поэтому , а

.

Теперь ищем разложение дроби на сумму простейших в виде

,

где числа A, B и C подлежат определению. Множителю   x в знаменателе соответствует простейшая дробь , множителю  – дробь , множителю  – дробь .

Для нахождения A, B и C приведём правую часть к общему знаменателю (он тот же, что и в левой части)

.

Две дроби с одинаковыми знаменателями равны, если их числители равны

.

Полагая в последнем равенстве   x равным корням знаменателя, получаем уравнения для нахождения коэффициентов   А, В и С:

Итак, .

. ►

5.2.2. Вычислить .

◄ Дробь, стоящая под знаком интеграла, правильная. Её знаменатель разлагается на линейные множители:

.

Разложение дроби в сумму простейших ищем в виде

.                     

Здесь первые три слагаемых соответствуют множителям x (их три), а четвёртое – множителю . Приводим правую часть этого равенства к общему знаменателю, равному , и приравниваем числители

 

или

.

Для нахождения неизвестных   A, B, C, D  используем равенство коэффициентов при одинаковых степенях x в многочленах, стоящих справа и слева от знака равенства.

              

Поставляя найденные значения   A, B, C, D в и интегрируя, получаем

. ►

5.2.3. Вычислить .

◄ Дробь  правильная. Знаменатель разлагается в произведение линейного и квадратичного множителей: . Так как  в нуль не обращается, то на линейные множители уже не разлагается.

Ищем разложение дроби в сумму простейших дробей в виде

.

Освободимся от знаменателя и найдём A, B и С, используя те же приёмы, что и в предыдущих примерах.

. .

.

.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x в многочленах, стоящих слева и справа от знака равенства: , , . Отсюда , , . Таким образом, ,

. ►

5.2.4. Вычислить .

◄ Дробь, стоящая под знаком интеграла, неправильная, так как степень числителя больше степени знаменателя. Поэтому её надо представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби, выполнив деление многочлена (числителя дроби) на многочлен (знаменатель дроби).

Итак, ,

. ►