Ряды с положительными членами.

Признаки сходимости

Определить сходимость ряда (1.1) и найти его сумму в случае сходимости непосредственно по определению 1.1 как предела последовательности частичных сумм, весьма затруднительно. Поэтому существуют достаточные признаки определения сходится ряд или расходится. В случае его сходимости приближенным значением его суммы с любой степенью точности может служить сумма соответствующего числа первых n членов ряда.

Здесь будем рассматривать ряды (1.1) с положительными (неотрицательными) членами, т. е. ряды, для которых  Такие ряды будем называть положительными рядами.

Теорема 3.1. (признак сравнения)

Пусть даны два положительных ряда

                                  ,                           (3.1)

                                   ,                           (3.2)

 

и выполняются условия  для всех n =1,2,…

Тогда: 1) из сходимости ряда (3.2) следует сходимость ряда (3.1);

    2) из расходимости ряда (3.1) следует расходимость ряда (3.2).

Доказательство. 1. Пусть ряд (3.2) сходится и его сумма равна В. Последовательность частичных сумм ряда (3.1) является неубывающей ограниченной сверху числом В, т. е.  Тогда в силу свойств таких последовательностей следует, что она имеет конечный предел, т. е. ряд (3.1) сходится.

2. Пусть ряд (3.1) расходится. Тогда, если ряд (3.2) сходится, то в силу доказанного выше пункта 1 сходился бы и исходный ряд, что противоречит нашему условию. Следовательно ряд (3.2) также расходится.

Этот признак удобно применять к определению сходимости рядов, сравнивая их с рядами, сходимость которых уже известна.

Пример 3.1. Исследовать на сходимость ряд

 

 

Члены ряда положительны и меньше соответствующих членов сходящегося ряда геометрической прогрессии

 

 т. к. , n =1,2,… Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд также сходится.

 

Пример 3.2. Исследовать на сходимость ряд

 

 

Члены данного ряда положительны и больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда

 

 т. к.

 

Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд расходится.

 

Теорема 3.2. (Предельный признак Даламбера [1]).

Пусть члены положительного ряда (1.1) таковы, что существует предел

 

Тогда: 1) при q < 1 ряд (1.1) сходится;

    2) при q > 1 ряд (1.1) расходится;

       3) при q = 1 о сходимости ряда (1.1) ничего сказать нельзя, необходимы дополнительные исследования.

Замечание: Ряд (1.1) будет расходиться и в том случае, когда

 

 

Пример 3.3. Исследовать на сходимость ряд

 

.

 

Применим предельный признак Даламбера.

В нашем случае .

 

Тогда

 

Следовательно, исходный ряд сходится.

 

Пример 3.4. Исследовать на сходимость ряд

 

 

Применим предельный признак Даламбера:

 

 

 

Следовательно, исходный ряд сходится.

 

Пример 3.5. Исследовать на сходимость ряд

 

 

Применим предельный признак Даламбера:

 

 

 

Следовательно, исходный ряд расходится.

Замечание. Применение предельного признака Даламбера к гармоническому ряду  не дает ответа о сходимости этого ряда, т. к. для этого ряда

 

 

Теорема 3.3. (Предельный признак Коши *).

Пусть члены положительного ряда (1.1) таковы, что существует предел

Тогда: 1) при q < 1 ряд (1.1) сходится;

       2) при q > 1 ряд (1.1) расходится;

3) при q = 1 о сходимости ряда (1.1) ничего сказать нельзя, необходимы дополнительные исследования.

Пример 3.6. Исследовать на сходимость ряд

 

 

Применим предельный признак Коши:

 

 

Следовательно, исходный ряд сходится.

 

Теорема 3.4. (Интегральный признак Коши).

Пусть функция f (x) непрерывная неотрицательная невозрастающая функция на промежутке

Тогда ряд

 и

несобственный интеграл

сходятся или расходятся одновременно.

 

Пример 3.7. Исследовать на сходимость гармонический ряд

 

 

Применим интегральный признак Коши.

В нашем случае функция  удовлетворяет условию теоремы 3.4. Исследуем на сходимость несобственный интеграл

Имеем .

 

Несобственный интеграл расходится, следовательно, исходный гармонический ряд расходится также.

 

Пример 3.8. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд

 

 

Функция  удовлетворяет условию теоремы 3.4.

Исследуем на сходимость несобственный интеграл

Рассмотрим следующие случаи:

1) пусть  Тогда обобщенный гармонический ряд есть гармонический ряд, который расходится, как показано в примере 3.7.

2) пусть  Тогда

 

 

 

 

Несобственный интеграл расходится, и, следовательно, ряд расходится;

3) пусть  Тогда

 

 

Несобственный интеграл сходится, и, следовательно, ряд сходится.

Окончательно имеем

 

 

 

 

Замечания. 1. Обобщенный гармонический ряд будет расходиться при , т. к. в этом случае не выполняется необходимый признак сходимости: общий член ряда не стремится к нулю.

2. Обобщенный гармонический ряд удобно использовать при применении признака сравнения.

Пример 3.9. Исследовать на сходимость ряд

Члены ряда положительны и меньше соответствующих членов сходящегося обобщенного гармонического ряда

 

т. к.  и параметр

 

Следовательно, исходный ряд сходится (по признаку сравнения).

Перейдем к рассмотрению рядов, члены которых могут быть как положительными, так и отрицательными.

 

Знакочередующиеся ряды.

Признак сходимости Лейбница

 

Определение 4.1. Знакочередующимся рядом называется ряд, у которого любые рядом стоящие члены имеют противоположные знаки.

Такие ряды удобнее записывать в виде

 

                                   (4.1)

или в виде

,                                   (4.2)

где

 

Для определения сходимости знакочередующихся рядов существует весьма простой достаточный признак.

 

Теорема 4.1. (Достаточный признак сходимости Лейбница *).

Для того чтобы знакочередующийся ряд (4.1)((4.2)) сходился, достаточно, чтобы абсолютные значения его членов убывали и стремились к нулю при возрастании n.

Таким образом, если  и  то знакочередующийся ряд (4.1)((4.2)) сходится.

Пример 4.1. Ряд

 

                        (4.3)

сходятся, т. к. для него выполняются все условия признака сходимостиЛейбница.

Знакопеременные ряды

Рассмотрим числовые ряды

 

                                                  (5.1)

 

с произвольными членами, т. е. члены ряда могут быть как положительными, так и отрицательными. Такие ряды называются знакопеременными.

    Образуем новый ряд, составленный из абсолютных величин (модулей) членов ряда (5.1), т. е. ряд

 

                                                         (5.2)

 

Теорема 5.1. Если ряд  сходится, то сходится и исходный ряд

Вообще говоря, обратное утверждение неверно, т. е. из сходимости ряда (5.1) не следует сходимость ряда (5.2). Например, как было показано выше ряд  сходится, в то время как ряд  расходится.

 

Определение 5.1. Ряд (5.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Определение 5.2. Сходящийся ряд (5.1) называется условно сходящимся, если ряд (5.2) расходится.

Таким образом ряд  является абсолютно сходящимся.

Абсолютно сходящиеся ряды обладают тем свойством, что у них можно любым образом менять местами члены ряда. При такой перестановке будут получаться также абсолютно сходящиеся ряды, при этом сумма ряда не изменяется. Как указывалось в разделе 2, условно сходящиеся ряды таким свойством не обладают

.

Типовая контрольная работа