Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Уравнения в полных дифференциалах
Определение 5. Уравнение вида , называется уравнением в полных дифференциалах, если , (3) где частные производные непрерывны в некоторой области. Покажем, что равенство (3) является условием полного дифферен-циала. Теорема. Если полный дифференциал некоторой функции , то выполняется условие (3). Верно и обратное. Пусть выражение является полным дифференциалом. Это означает, что , так как . Продифференцировав первое полученное выражение по у, а второе по х, получим . Обратно. Пусть выполняется условие (3). Требуется найти функцию , которая должна удовлетворять условиям: . Интегрируя первое из них, получим где является фиксированной точкой из области определения функций и , а - произвольная функция. Теперь продифференцируем это выражение: и воспользуемся условием (3) откуда и . Таким образом, функция найдена . (4) Теорема доказана. Возвращаемся к уравнению в полных дифферен-циалах. Если выполняется условие (3), то согласно теореме имеем - общий интеграл. С учётом формулы (4) окончательно определяем общий интеграл уравнения в полных дифференциалах . (5) Пример 4. Решить задачу Коши Проверим выполнение условия (3): , т.е. имеем уравнение в полных дифференциалах. По формуле (5) получаем или . Приведём подобные члены и соберём все константы в одну: . Значение константы С определим из начального условия: . Тогда решение задачи Коши будет иметь вид .
ДУ высших порядков
3.1. Определение ДУ п -го порядка
Общий вид дифференциального уравнения п -го порядка (ДУ- п): , (1) или разрешенного относительно старшей производной: . Для поиска частного решения необходимо задать начальные условия: . (2) Определение 1. Общим решением или интегралом уравнения (1) назы-вается функция или соответст-венно, которая: 1. Удовлетворяет уравнению при любых значениях произвольных посто-янных . 2. При любых заданных начальных условиях (2) из области определения можно найти такие , что функция или соответственно будет удовлетворять условиям (2). 3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
3.2.1. . Для нахождения решения данного уравнения необходимо проинтегри-ровать его п раз. Пример 1. Найти общее решение уравнения . Проинтегрируем уравнение три раза: 3.2.2. (нет у). При помощи замены уравнение принимает вид . Пример 2. Найти общее решение уравнения . После замены уравнение принимает вид Это линейное уравнение, поэтому используем подстановку Тогда получим и Так как , то . Интегрируя, окончательно получаем 3.2.3. (нет х). При помощи замены … уравнение принимает вид . Пример 3. Решить задачу Коши . После замены получим уравнение с разде-ляющимися переменными: Проинтегрируем: . Воспользуемся начальными условиями Разрешим уравнение относительно и разделим переменные Проинтегрируем Из начальных условий находим и, окончательно, получаем частное решение
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-09-26; просмотров: 50; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.128.198.21 (0.01 с.) |