Интегралы от тригонометрических функций

Сведения из теории

 

6.1.1. Интегралы вида ,

где хотя бы одно из чисел m или n нечетное целое число

 

Пусть, например,   – нечетно. Тогда

|| замена || ,

то есть интеграл сводится к сумме табличных интегралов от степеней.

 

6.1.2. Интегралы вида , где m и n четные целые числа

Если m и n четные целые положительные числа, то используются формулы понижения степени

 

.            

Интегралы от произведений синусов и косинусов

Различных аргументов

 

Для их вычисления используются тригонометрические формулы

.                                      

.                                     

.                                   

 

Примеры решения задач

 

6.2.1. Вычислить .

◄ Так как  стоит в нечетной степени, то

. ►

6.2.2. Вычислить .

◄ Используем то обстоятельство, что косинус стоит в нечётной степени.

=

= . ►

6.2.3. Вычислить .

◄ Используем вторую из формул понижения степени:

. ►

6.2.4. Вычислить .

◄ Для вычисления этого интеграла от произведения синуса и косинуса в чётных степенях используем формулы понижения степени.

. ►

6.2.5. Вычислить .

◄ Используем формулу.

. ►

6.2.6. Вычислить .

◄ Избавляемся от квадрата  по третьей из формул понижения степени, а затем используем формулу:

. ►

 

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Сведения из теории

Несобственный интеграл от функции  по промежутку :

.

Если этот предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится, если бесконечен или вообще не существует, то несобственный интеграл расходится.

Примеры решения задач

7.2.1. Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

◄ . ►

7.2.2. Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

◄

.

Итак, несобственный интеграл   расходится. ►

7.2.3. Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

◄ (табличный интеграл 11)  = .

Мы учли, что , а .►

7.2.4. Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

◄

. ►

7.3. Задачи для самостоятельного решения

 

Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.

7.3.1. .	7.3.2. .
7.3.3. .	7.3.4. .
7.3.5. .	7.3.6. .

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ

Сведения из теории

 

Площадь S фигуры, ограниченной линиями , , , , где  при (рис. 1), находится по формуле

 

.                       

 

Площадь S фигуры, ограниченной линиями , , , ,  где   при  (рис. 2), находится по формуле

.        

 

Конечно, формула (8.1) – частный случай формулы (8.2) при , .

Объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox   фигуры, ограниченной линиями , , , , где  при , (рис. 3) находится по формуле

.                              

 

Длина дуги   , , находится по формуле

.                                     

 

Примеры решения задач

8.2.1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , ,  (рис. 4).

◄ По формуле (8.1) площадь

. ►

8.2.2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , .

◄ Найдем абсциссу точки пересечения линий  и :

, , , , , .

С учетом вида графиков функций  и  получаем, что фигура имеет вид, изображенный на рис. 5. По формуле (8.2) площадь фигуры

. ►

8.2.3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

◄ Для нахождения абсцисс точек пересечения линий  и  получаем квадратное уравнение  или . Решая его, получаем , , . Фигура имеет вид, изображенный на рис. 6. По формуле площадь фигуры

. ►

 

8.2.4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

◄ Фигура имеет вид, изображенный на рис. 7. Ее площадь находим по формуле (8.2):

. ►

8.2.5. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями , ,  (рис. 8).

◄ По формуле (8.3) объем тела вращения

(по формуле (6.1) понижения степени)

. ►

Дифференциальные уравнения

 

1.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

 

Часто, рассматривая явления, мы не можем непосредственно установить вид исследуемой зависимости у от х. Однако мы можем установить зависимость между функцией, её производными и аргументом.

Рассмотрим следующие две задачи.

1. Задача о радиоактивном распаде. Экспериментально установлено, что скорость радиоактивного распада вещества массы М пропорциональна количеству нераспавшегося вещества, т.е.

где k - коэффициент распада, который устанавливается экспериментально.

2. Задача о падении тела. С некоторой высоты падает тело массой т. Требуется установить по какому закону изменяется путь S, проходимый данным телом.

Согласно второму закону Ньютона имеем

, где , а .

Таким образом, получим .

Полученные соотношения представляют собой дифференциальные уравнения для нахождения функций  и являются математи-ческими моделями соответствующих физических процессов.