Неопределенный и определенный интеграл

В.В. КОЛЕДИН

 

 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

 

Методические указания

по выполнению контрольных работ

для обучающихся по направлениям подготовки

08.03.01 Строительство, 09.03.04 Программная инженерия

 

Нижневартовск

2020

 

 

ББК

 

 

Одобрено редакционно-издательским советом филиала

 

 

       Методические указания для выполнения контрольных работ по дисциплине «Математический анализ» для обучающихся на заочной форме обучения по направлениям подготовки 08.03.01 Строительство, 09.03.04 Программная инженерия / В.В. Коледин. -Нижневартовск, 2020. - 114 с.

 

 

 

 

Методические указания предназначены для выполнения контрольной работы и освоения дисциплины «Математический анализ». Методические указания содержат оглавление, типовую контрольную работу, задания для контрольных работ, список литературы, в которой можно найти ответы на все теоретические вопросы и решение аналогичных задач. Всего предусматривается выполнение двух контрольных работ, каждая из которых содержит 34 варианта.

       Методические указания направлены на освоение обучающимися общекультурных и профессиональных компетенций, необходимых для дальнейшей практической деятельности.  Предъявляемые контрольные работы соответствуют формированию общекультурных и профессиональных компетенций в соответствии с ФГОС ВО по направлениям подготовки 08.03.01 Строительство, 09.03.04 Программная инженерия.

.

 

              

 

                                                                

 

Оглавление

 

Краткая теория. 4

Неопределенный и определенный интеграл. 4

Дифференциальные уравнения. 33

Ряды.. 54

Типовая контрольная работа. 74

Неопределенные и определенные интегралы.. 74

Задание №1. 74

Задание №2. 78

Задание №3. 79

Задание №4. 80

Дифференциальные уравнения. 84

Задание №2. 91

Ряды.. 93

Задание №3. 93

Задание №4. 95

Контрольная работа №2. 96

Интегралы.. 96

Задание №1. 96

Задание №2. 99

Задание №3. 100

Задание №4. 102

Дифференциальные уравнения. 103

Задание №1. 103

Задание №2. 109

Ряды.. 111

Задание №3. 111

Задание №4. 114

 

 

Краткая теория.

Неопределенный и определенный интеграл

Функция F (x) называется   первообразной  функции  на промежутке J, если для любого . Любая непрерывная функция  имеет первообразную. Множество всех первообразных функции  называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается . Пусть  какая-нибудь первообразная функции тогда

,

где C – произвольная постоянная.

 

Свойства неопределенного интеграла

 

1. .

2. .

Это равенство означает, что неопределенный интеграл от функции  состоит из первообразных функции , умноженных на число k.

3. .

Это равенство означает, что неопределенный интеграл от суммы  состоит из всевозможных сумм первообразных функций  и .

 

Таблица основных неопределенных интегралов

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

 

Примеры решения задач

 

1.2.1. Убедиться, что функция  является первообразной функции  на .

◄ Действительно, . ►

1.2.2. Убедиться, пользуясь определением, что

.

◄ Так как , то . ►

1.2.3. Вычислить

◄ При вычислении этого интеграла применим свойства 2, 3 и табличный интеграл 2.

. ►

1.2.4. Вычислить .

◄ При вычислении этого интеграла применим тождественные преобразования (возведение суммы в квадрат и деление суммы на число), свойства 2, 3 и табличные интегралы 2 и 3.

. ►

1.2.5.  Вычислить .

◄ При вычислении этого интеграла применим тождественные преобразования, свойство 2 и табличный интеграл 11

= . ►

1.2.6.  Вычислить .

◄ При вычислении интеграла применим тождественные преобразования, свойство 2 и табличный интеграл 12.

. ►

1.2.7. Вычислить .

◄ Используем тождественные преобразования, свойство 2 и табличный интеграл 10.

. ►

1.2.8. Вычислить определенный интеграл .

◄ Так как , то по формуле Ньютона – Лейбница

. ►

1.2.9.  Вычислить определенный интеграл .

◄ Используем формулу Ньютона-Лейбница и формулу 7 таблицы интегралов: . ►

1.2.10. Вычислить определенный интеграл .

◄ Соответствующий неопределенный интеграл вычислен в примере 1.2.5. Поэтому

. ►

1.2.11. Вычислить определенный интеграл .

◄ Используем тригонометрическую формулу , свойство линейности определенного интеграла, табличные интегралы 1 и 8 и формулу Ньютона–Лейбница:

. ►

 

Метод замены переменных

С ведения из теории

 

Существует два варианта этого метода.

 

Метод подстановки

 

Пусть функция  дифференцируема и имеет дифференцируемую обратную . Тогда

 

,                                   

 

где после вычисления интеграла, стоящего в правой части этой формулы, надо заменить переменную t на функцию .

При удачном выборе подстановки  интеграл, стоящий в правой части формулы, может оказаться «проще» исходного.

Для определенного интеграла соответствующая формула имеет вид

 

,                                

 

где , а .

 

Примеры решения задач

 

Далее знак  будет означать ссылку на табличный интеграл с номером N.

2.2.1. Вычислить .

◄ Перепишем интеграл в виде . Под знаком интеграла стоит степень функции , поэтому удобно подвести  под знак дифференциала:

. ►

2.2.2. Вычислить .

◄ Подведём под знак дифференциала : так как дифференциал ,  то  Поэтому

.

2.2.3. Вычислить .

◄ Так как   и . ►

2.2.4. Вычислить .

◄ Так как , то . ►

2.2.5. Вычислить .

◄ Так как , то . Тогда

. ►

2.2.6. Вычислить .

◄ Подведём под знак дифференциала :

. ►

2.2.7. Вычислить .

◄ Так как , то , тогда

. ►

2.2.8. Вычислить .

◄ Так как , то

. ►

2.2.9. Вычислить .

◄ . ►

2.2.10. Вычислить .

◄ . ►

2.2.11. Вычислить .

◄

. ►

2.2.12. Вычислить .

◄ . ►

2.2.13. Вычислить .

◄ Так как интеграл определенный, то будем пользоваться вариантом формулы подведения под дифференциал.

. ►

2.2.14. Вычислить .

◄

. ►

2.2.15. Вычислить .

◄ Будем пользоваться формулой замены переменных в форме подстановки. Обозначим . Тогда ,  и

. ►

2.2.16. Вычислить .

◄ Так как интеграл определенный, то воспользуемся формулой замены переменных. Обозначим . Тогда  при ,  при , , , и

. ►

 

Интегрирование по частям

Сведения из теории

 

Если ,  – функции, имеющие непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла

 

,

или в краткой записи

 

,                                      

 

а также формула интегрирования по частям для определенного интеграла

или в краткой записи

.                              

 

Примеры решения задач

3.2.1. Вычислить .

◄ Положим .  Тогда ,

 (постоянную C  здесь считаем равной 0). По формуле интегрирования по частям имеем:

 

. ►

3.2.2. Вычислить .

◄

К стоящему справа интегралу снова применим формулу интегрирования по частям.

. ►

3.2.3. Вычислить .

◄

. ►

3.2.4. Вычислить .

◄ Выполним замену переменной . Тогда ,   и интеграл примет вид

. ►

3.2.5. Вычислить .

◄ Используем формулу (3.2) интегрирования по частям для определенного интеграла.

. ►

3.2.6. Вычислить .

◄

. ►

 

 

ПРОСТЕЙШИЕ ИНТЕГРАЛЫ,

Сведения из теории

Для вычисления интегралов вида

из квадратного трехчлена выделяется полный квадрат:

и делается замена переменных .

 

Примеры решения задач

 

4.2.1. Вычислить .

◄ Выделим полный квадрат в квадратном трёхчлене:

.

Сделаем в интеграле подстановку . Тогда , ,

(используем табличные интегралы 3 и 11)

= .►

4.2.2. Вычислить .

◄ Выделим полный квадрат в квадратном трёхчлене

.

 (табличные интегралы 3 и 12) =

. ►

 

Сведения из теории

Рациональной дробью (рациональной функцией) называется отношение многочленов

.

Если , то дробь называется правильной, если  то неправильной.

Рациональные дроби следующих типов называются простейшими дробями.

(1) ;                   (2) ,

(3) ,         (4) .

Простейшие дроби типов (1) и (2) интегрируются просто:

;

.

Метод интегрирования простейших дробей типа (3) был изложен в п. 4. Интегрирование дробей типа (4) довольно громоздко и здесь излагаться не будет.

Произвольную правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей. Как это сделать будет показано ниже в п. 5.2 на примерах. Поэтому интегрирование правильных дробей сводится к интегрированию простейших дробей.

С помощью деления “уголком” неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби (см. пример 5.2.4); тем самым интегрирование неправильной дроби сводится к рассмотренной выше задаче интегрирования правильной дроби.

Примеры решения задач

 

5.2.1. Вычислить .

◄ Рассматриваемая дробь правильная, так как степень числителя меньше степени знаменателя.

Знаменатель дроби разложим на множители. Сначала вынесем общий множитель x: . Для разложения на множители квадратного трехчлена  надо найти его корни:

, , .

Поэтому , а

.

Теперь ищем разложение дроби на сумму простейших в виде

,

где числа A, B и C подлежат определению. Множителю   x в знаменателе соответствует простейшая дробь , множителю  – дробь , множителю  – дробь .

Для нахождения A, B и C приведём правую часть к общему знаменателю (он тот же, что и в левой части)

.

Две дроби с одинаковыми знаменателями равны, если их числители равны

.

Полагая в последнем равенстве   x равным корням знаменателя, получаем уравнения для нахождения коэффициентов   А, В и С:

Итак, .

. ►

5.2.2. Вычислить .

◄ Дробь, стоящая под знаком интеграла, правильная. Её знаменатель разлагается на линейные множители:

.

Разложение дроби в сумму простейших ищем в виде

.                     

Здесь первые три слагаемых соответствуют множителям x (их три), а четвёртое – множителю . Приводим правую часть этого равенства к общему знаменателю, равному , и приравниваем числители

 

или

.

Для нахождения неизвестных   A, B, C, D  используем равенство коэффициентов при одинаковых степенях x в многочленах, стоящих справа и слева от знака равенства.

              

Поставляя найденные значения   A, B, C, D в и интегрируя, получаем

. ►

5.2.3. Вычислить .

◄ Дробь  правильная. Знаменатель разлагается в произведение линейного и квадратичного множителей: . Так как  в нуль не обращается, то на линейные множители уже не разлагается.

Ищем разложение дроби в сумму простейших дробей в виде

.

Освободимся от знаменателя и найдём A, B и С, используя те же приёмы, что и в предыдущих примерах.

. .

.

.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x в многочленах, стоящих слева и справа от знака равенства: , , . Отсюда , , . Таким образом, ,

. ►

5.2.4. Вычислить .

◄ Дробь, стоящая под знаком интеграла, неправильная, так как степень числителя больше степени знаменателя. Поэтому её надо представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби, выполнив деление многочлена (числителя дроби) на многочлен (знаменатель дроби).

Итак, ,

. ►

 

Сведения из теории

 

6.1.1. Интегралы вида ,

где хотя бы одно из чисел m или n нечетное целое число

 

Пусть, например,   – нечетно. Тогда

|| замена || ,

то есть интеграл сводится к сумме табличных интегралов от степеней.

 

6.1.2. Интегралы вида , где m и n четные целые числа

Если m и n четные целые положительные числа, то используются формулы понижения степени

 

.            

Различных аргументов

 

Для их вычисления используются тригонометрические формулы

.                                      

.                                     

.                                   

 

Примеры решения задач

 

6.2.1. Вычислить .

◄ Так как  стоит в нечетной степени, то

. ►

6.2.2. Вычислить .

◄ Используем то обстоятельство, что косинус стоит в нечётной степени.

=

= . ►

6.2.3. Вычислить .

◄ Используем вторую из формул понижения степени:

. ►

6.2.4. Вычислить .

◄ Для вычисления этого интеграла от произведения синуса и косинуса в чётных степенях используем формулы понижения степени.

. ►

6.2.5. Вычислить .

◄ Используем формулу.

. ►

6.2.6. Вычислить .

◄ Избавляемся от квадрата  по третьей из формул понижения степени, а затем используем формулу:

. ►

 

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Сведения из теории

Несобственный интеграл от функции  по промежутку :

.

Если этот предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится, если бесконечен или вообще не существует, то несобственный интеграл расходится.

Примеры решения задач

7.2.1. Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

◄ . ►

7.2.2. Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

◄

.

Итак, несобственный интеграл   расходится. ►

7.2.3. Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

◄ (табличный интеграл 11)  = .

Мы учли, что , а .►

7.2.4. Вычислить несобственный интеграл  или доказать его расходимость.

◄

. ►

7.3. Задачи для самостоятельного решения

 

Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.

7.3.1. .	7.3.2. .
7.3.3. .	7.3.4. .
7.3.5. .	7.3.6. .

Сведения из теории

 

Площадь S фигуры, ограниченной линиями , , , , где  при (рис. 1), находится по формуле

 

.                       

 

Площадь S фигуры, ограниченной линиями , , , ,  где   при  (рис. 2), находится по формуле

.        

 

Конечно, формула (8.1) – частный случай формулы (8.2) при , .

Объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox   фигуры, ограниченной линиями , , , , где  при , (рис. 3) находится по формуле

.                              

 

Длина дуги   , , находится по формуле

.                                     

 

Примеры решения задач

8.2.1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , ,  (рис. 4).

◄ По формуле (8.1) площадь

. ►

8.2.2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , .

◄ Найдем абсциссу точки пересечения линий  и :

, , , , , .

С учетом вида графиков функций  и  получаем, что фигура имеет вид, изображенный на рис. 5. По формуле (8.2) площадь фигуры

. ►

8.2.3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

◄ Для нахождения абсцисс точек пересечения линий  и  получаем квадратное уравнение  или . Решая его, получаем , , . Фигура имеет вид, изображенный на рис. 6. По формуле площадь фигуры

. ►

 

8.2.4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

◄ Фигура имеет вид, изображенный на рис. 7. Ее площадь находим по формуле (8.2):

. ►

8.2.5. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями , ,  (рис. 8).

◄ По формуле (8.3) объем тела вращения