Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Метод подведения под знак дифференциала
Предположим, что подынтегральное выражение удалось представить в виде (это преобразование называется подведением функции под знак дифференциала d). Тогда
,
где после вычисления интеграла, стоящего в правой части этой формулы, надо заменить переменную u на функцию . Интеграл, получившийся в результате такого преобразования, может оказаться «проще» исходного, например, табличным. Для определенного интеграла формула имеет вид , где , . Таким образом, при замене переменных в определенном интеграле меняются пределы интегрирования, зато не надо после интегрирования возвращаться к прежней переменной.
Метод подстановки
Пусть функция дифференцируема и имеет дифференцируемую обратную . Тогда
,
где после вычисления интеграла, стоящего в правой части этой формулы, надо заменить переменную t на функцию . При удачном выборе подстановки интеграл, стоящий в правой части формулы, может оказаться «проще» исходного. Для определенного интеграла соответствующая формула имеет вид
,
где , а .
Примеры решения задач
Далее знак будет означать ссылку на табличный интеграл с номером N. 2.2.1. Вычислить . ◄ Перепишем интеграл в виде . Под знаком интеграла стоит степень функции , поэтому удобно подвести под знак дифференциала: . ► 2.2.2. Вычислить . ◄ Подведём под знак дифференциала : так как дифференциал , то Поэтому . 2.2.3. Вычислить . ◄ Так как и . ► 2.2.4. Вычислить . ◄ Так как , то . ► 2.2.5. Вычислить . ◄ Так как , то . Тогда . ► 2.2.6. Вычислить . ◄ Подведём под знак дифференциала : . ► 2.2.7. Вычислить . ◄ Так как , то , тогда . ► 2.2.8. Вычислить . ◄ Так как , то . ► 2.2.9. Вычислить . ◄ . ► 2.2.10. Вычислить . ◄ . ► 2.2.11. Вычислить . ◄ . ► 2.2.12. Вычислить . ◄ . ► 2.2.13. Вычислить . ◄ Так как интеграл определенный, то будем пользоваться вариантом формулы подведения под дифференциал.
. ► 2.2.14. Вычислить . ◄ . ► 2.2.15. Вычислить . ◄ Будем пользоваться формулой замены переменных в форме подстановки. Обозначим . Тогда , и
. ► 2.2.16. Вычислить . ◄ Так как интеграл определенный, то воспользуемся формулой замены переменных. Обозначим . Тогда при , при , , , и . ►
Интегрирование по частям Сведения из теории
Если , – функции, имеющие непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла
, или в краткой записи
,
а также формула интегрирования по частям для определенного интеграла или в краткой записи .
Примеры решения задач 3.2.1. Вычислить . ◄ Положим . Тогда , (постоянную C здесь считаем равной 0). По формуле интегрирования по частям имеем:
. ► 3.2.2. Вычислить . ◄ К стоящему справа интегралу снова применим формулу интегрирования по частям. . ► 3.2.3. Вычислить . ◄ . ► 3.2.4. Вычислить . ◄ Выполним замену переменной . Тогда , и интеграл примет вид
. ► 3.2.5. Вычислить . ◄ Используем формулу (3.2) интегрирования по частям для определенного интеграла. . ► 3.2.6. Вычислить . ◄ . ►
ПРОСТЕЙШИЕ ИНТЕГРАЛЫ,
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-09-26; просмотров: 67; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.219.96.188 (0.021 с.) |