Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Техника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? Влияние общества на человека Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления	Главная Избранные Случайная статья Познавательные Новые добавления Обратная связь FAQ Субъективный подход (интуитивный) ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 13Следующая ⇒ Согласно этому подходу вероятность определяется как степень уверенности в наступлении того или иного события. Субъективная вероятность применятся при решении многих проблем в бизнесе, где вероятность не может быть выведена при помощи логики, либо недостаточно эмпирических данных, на основании которых можно определить вероятность. Задача 1. Какова вероятность того, что при бросании игровой кости выпадут числа меньше 3? Благоприятный исход: 1,2. Количество возможных исходов: 6. Р(А)=2:6=1/3 Задача 2. Определить вероятность выпадения двух орлов при трех бросаниях монеты. Благоприятный исход: ООР, РОО, ОРО. Неблагоприятный исход: ООО, РРР, ОРР, РОР, РРО. Р(А)=3/8 Случайная величина Если связать каждое событие из множества событий, с каким – либо числом, то получим совокупность чисел, появление каждого из которых случайно. В результате проведения экспериментов, таким образом, мы получаем случайную величину. Случайная величина (Х) - функция, принимающая действительные значения на множестве событий. С помощью этой функции мы ставим в однозначное их соответствие каждому событию некоторое число х i (х i –   некоторая единственная точка на действительной оси). Следовательно, случайная величина – некоторое преобразование, которое каждому событию в пространстве событий ставит в соответствие единственное алгебраическое значение события х i. Случайная величина – такая величина, поведение которой не определено, а поскольку поведение не определено, то мы можем только приписать вероятности к возможным значениям таких величин.    Таким образом, случайная величина определяется ее распределением в вероятности (т.е. с какой вероятностью величина принимает те или иные числовые значения). Случайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные.     Дискретные и непрерывные случайные величины Дискретные случайные величины – те, которые имеют конечное число возможных результатов. С ними мы сталкиваемся в примере бросания монеты и игральной кости. В случае с игральной костью случайная величина (Z) может принимать значения от 1 до 6. И каждому этому значению соответствует вероятность его выпадения. Вероятности вместе со связанными с ними значениями случайных величин и составляют функцию частот вероятностей. Значения Z 1 2 3 4 5 6 Вероятность P(Z) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Независимо от количества возможных результатов сумма всех вероятностей должна быть равной 1. Примерами дискретного распределения являются биноминальное и тригономинальное уравнения. Подбрасывание монеты ведет к биноминальному распределению. Вероятность активов могут уменьшаться, увеличиваться или оставаться неизменными, что ведет к тригономинальному распределению, поскольку может быть три вида результатов. Непрерывная случайная переменная – такая переменная, которая может принимать бесконечное количество значений (температура, влажность воздуха, курс акций и т.д.)   Вероятностные характеристики случайной величины Как непрерывная, так и случайная дискретная величина имеет плотность распределения вероятностей, которая часто именуется просто плотностью вероятности и обозначается как f (x) (для случайной непрерывной величины) или p (x) (для дискретной величины). Плотность вероятности ставит в соответствие случайной величине вероятностную меру. Плотности вероятностей должны удовлетворять следующим условиям. Характеристики плотности	Случайная величина х
Дискретная	Непрерывная
Область определения
Условия неотрицательности и нормировки

Условие неотрицательности для непрерывных и дискретных распределений означает, что плотность вероятности не может принимать отрицательные значения (в противном случае вероятность некоторых событий могла бы быть отрицательной). Условие нормировки показывает, что сумма вероятностей по всему пространству событий должна быть равна 1.

Самой важной вероятностной характеристикой случайной величины является функция распределения, определяемая следующим образом.

Рассмотрим случай с бросанием игровой кости. Пусть -случайная величина, представляющая количество выпавших очков, тогда плотность вероятности и функция распределения вероятности случайной величины х определяется следующим образом:

p(x)–равномерная дискретная функция т.к. любые значения случайной величины принимаются с одинаковыми вероятностями.

р(х)

                                                                 

1                                          Функция распределения P (X)

 

5/6

4/6

3/6

 2/6                                                                                           

                                               Плотность вероятности p (x)

 1/6

    1 2 3 4 5 6                                                                          х

Пример для непрерывной величины.

Стрелка длиной L закреплена подвижно на оси в центре круга, радиус которого также равен L. На окружности выбирается точка отсчета, стрелка вращается в направлении часовой стрелки, по окружности измеряется расстояние х, пройденное стрелкой от точки отсчета. Такая случайная величина х является непрерывной, принимающей значения из интервала . Нет, ни каких оснований считать, что стрелка будет иметь тенденцию останавливаться в некоторой области окружности чаще, чем в других областях. Поэтому все значения х из интервала   могут приниматься с равной вероятностью и распределение х должно быть равномерным.

 ,

,

 

1                                                              Функция распределения F (Х)

 

 

                                                           Плотность вероятности f (x)

 

                                                                                                               x

                                                           2П L

 

Примеры законов распределения

1 пример.   

Равномерное распределение:

плотность                       f (x)

                                                                                                                    

 

                                                                                                                  а           в          

2 пример.

Нормальное распределение так же называют распределением Гаусса – Лапласа. Распределение вероятностей случайной непрерывной величины х называется нормальным, если ее закон распределения вероятностей определяется плотностью вероятности.

плотность причем М (х) =а    (математическое ожидание)

 

среднее квадратичное отклонение

Д(х)= дисперсия.

 

3 пример.

 

Распределение χ² с п степенями свободы.

 

χ² =  

  Где ε₁,…… ε_n – независимые стандартные нормальные случайные величины, т.е. .

 

4 пример.

Распределение Стьюдента (t –распределение с n - степенями свободы). Пусть ε_0, ε_1,…… ε_n   независимые случайные переменные.

 

 - называют распределением Стьюдента или t –распределением с n степенями свободы.

 

5 пример.

Распределение Фишера (распределение F, Фишера – Спенсера).

Пусть ε₁,……, ε_m,, η₁,….,. η_n - совокупность независимых стандартных нормальных случайных величин.

Распределение случайной величины с (m, n) степенями свободы.

1.3.3. Математическое ожидание

                                                         Математическое ожидание.

                                    для дискретных                         для непрерывных

                                               

                      где х_i- дискретная величина;      х – непрерывная величина;

                                      p_i- ее вероятность;                     f(x)- плотность вероятности.     

Свойства математического ожидания:

Пусть х,у - произвольные случайные величины,   а и в- const, тогда

1⁰.   М (а)=а

2⁰.   М (ах+в) = а М(х) +в

3⁰.  М (х+у) = М(х) + М(у)

4⁰.   М (х у) = М (х) * М(у)

5⁰.   х ³ у, то М(х) ³ М(у)