Проверка выполнения условий для получения «хороших» оценок МНК

Возможность применения регрессионных уравнений определяется «хорошими» свойствами оценок коэффициента регрессии: несмещенностью, состоятельностью и эффективностью.

МНК дает «хорошие» оценки коэффициентов а и b при выполнении некоторых условий, эти условия касаются ε_i.

Основными предположениями классической модели линейной регрессии являются:

1.  Математическое ожидание случайной компоненты равно 0: М(ε_i)=0.

2.  Дисперсия должна быть постоянной: D (ε_i)= const

3.  Ковариация должна быть равна 0:    cov (ε _i,ε _j) = 0

Ковариация - показатель, измеряющий тесноту связей между случайными переменными.

Нарушение тех или иных условий проверяется на основе выдвижения соответствующих гипотез относительно ε_i. Оценочными значениями ε_i   является величина, которая рассчитывается по формуле:

Все критерии относительно ε_i основываются на этих оценочных значениях.

Рассмотрим более подробно каждое условие:

 

1. Нарушение условия 1: М( ε _i) ≠0

    

...   

.....

..  .

.     ..

. .

 

Проверка, равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю, осуществляется в ходе проверки соответствующей нулевой гипотезы. Н0: . С этой целью строится t – статистика

 

где - среднее арифметическое значение уровней ряда остатков ;

– среднеквадратическое отклонение для этой последовательности, рассчитанное по формуле для малой выборки.

На уровне значимости  гипотеза отклоняется, если > , – критерий распределения Стьюдента с доверительной вероятностью (1– ) и = n – 1 степенями свободы.

 

Нарушение условия 2: D (ε _i) ≠ const

                     

        

     

    

     

    

 

 

                                               

 

Если остатки имеют постоянную дисперсию (рассеивание), то они называются гомоскедастичными.

Если остатки непостоянны (нарушение условия 2), то они называются гетероскедастичными.

Воздействие гетероскедастичности на оценку интервалов прогнозирования и проверку гипотезы заключается в том, что хоть оценки не смещены, но стандартные ошибки будут смещены. Если смещение отрицательно, то оценочная стандартная ошибка будет меньше, чем она должна быть, а критерии проверки будут больше, чем в реальности. Можно сделать вывод, что коэффициент значим, когда он таковым не является, и наоборот, если смещение положительно, то оценочные ошибки будут большими, чем они должны быть, а критерий проверки меньше. Значит, мы можем принять нулевую гипотезу, в то время как она должна быть отвергнута.

Для проверки условия 2 существует несколько критериев. Один из них основывается на том, что величина F подчиняется F -распределению со степенями свободы   n ₁ = n /2-1 и n ₂ = n /2-1

Если проверяется гипотеза Н0 о росте дисперсии, то F ^расч должно быть меньше F ^табл. Если проверяется гипотеза об уменьшении дисперсии, то F ^расч больше F ^табл.

Нарушение условия 3 означает, что между ошибками разных наблюдений есть какая-то взаимосвязь. Графически это можно представить в следующем виде:

у                                            

 

 

                                            х

Нарушение условия 3 называется автокорреляцией, известной также как серийная корреляция.

Автокорреляция имеет место, когда остатки не являются независимыми друг от друга. Зависимость между остатками описывается с помощью авторегрессионой схемы.

Допустим, что остаток  находится под влиянием остатка из предшествующего периода времени и какого-либо текущего значения случайной переменной у _t, тогда остаток  будет описываться следующей авторегрессионной моделью:    - форма авторегрессионной модели первого порядка (или модель А R (1)).

Наличие (отсутствие) автокорреляции в отклонениях от модели роста проще всего проверить с помощью критерия Дарвина-Уотсона. С этой целью строится статистика Дарвина-Уотсона (d -статистика (D - W)), в основе которой лежит расчетная формула

Теоретическое основание применения этого критерия обусловлено тем, что в динамических рядах, как сами наблюдения, так и отклонения от них распределяются в хронологическом порядке.

При отсутствии автокорреляции значение d ^расч примерно равно 2, а при полной автокорреляции – 0 или 4. Следовательно, оценки, получаемые по критерию, являются не точечными, а интервальные. Верхние (d₂) и нижние (d₁) критические значения, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсут­ствии автокорреляции, зависят от количества уровней динамического ряда и числа независимых переменных модели. Фрагмент табличных значений этих границ для различного числа уровней ряда n и числа определяемых параметров модели k представлен в таблице (уровень значимости =0,05).

Таблица

n	k=1		k=2		k=3
	d1	d2	d1	d2	d1	d2
15 20 30	1,08 1,20 1,35	1,36 1,41 1,49	0,95 1,10 1,28	1,54 1,54 1,57	0,82 1,00 1,21	1,75 1,68 1,65

 

 При сравнении расчетного значения d ^расч  с табличным могут возникнуть следующие ситуации:

 

1. d ₂ < d ^расч < 2 – ряд остатков не коррелирован;

2. d ^расч < d ₁ – остатки содержат автокорреляцию;

3. d ₁ < d ^расч < d ₂  – область неопределенности, когда нет оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу о существовании автокорреляции.

4. Если d _расч  превышает 2, то при наличии автокорреляции это свидетельствует о наличие отрицательной корреляции. Перед входом в таблицу такие значения следует преобразовать по формуле d '_расч= 4 - d ^расч

Если же ситуация оказалась неопределенной (ситуация 3.), применяют другие критерии. В частности, можно воспользоваться первым коэффициентом автокорреляции:

Для суждения о наличии или отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду расчетное значение коэффициента автокорреляции сопоставляется с табличным (критическим) для 5%-го или 1%-го уровня значимости (вероятности допустить ошибку при принятии нулевой гипотезы о независимости уровней ряда). Если расчетное значение коэффициента автокорреляции меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду может быть принята. Когда же расчетное значение больше табличного, делают вывод о наличии автокорреляции в ряду динамики.

Установив наличие автокорреляции остатков, надо улучшать модель.