Параметры уравнения множественной регрессии оцениваются методом наименьших квадратов по формуле:

b =(Х^Т*Х)^-1*Х^Т*Y=  

,

 

Коэффициент регрессии многофакторного регрессионного уравнения (МРУ) имеет такой же экономический смысл, что и в однофакторной модели, т.е. коэффициент регрессии b_j  в многофакторном регрессионном уравнении (МРУ) показывает прирост результата, приходящийся на единицу прироста j – ого фактора, при фиксированных значениях других факторов.

Коэффициенты регрессии многофакторного регрессионного уравнения (МРУ) оцениваются        методом наименьших квадратов (МНК). Для определения параметров множественной регрессии с k факторами, решается система уравнений из k +1 уравнений с k +1 неизвестными.

Метод наименьших квадратов (МНК) дает «хорошие» оценки при соблюдении определенных условий относительно случайной компоненты ε _i  и независимых переменных X ¹, X ²,…, X^k.

При сохранении условий с 1 по 3 для однофакторного уравнения к многофакторной модели добавляется четвертое, требующее независимости факторов между собой, т.е. в многофакторном регрессионном уравнении (МРУ) для получения «хороших» оценок методом наименьших квадратов (МНК) необходимы следующие условия:

1. Математическое ожидание случайной компоненты равно 0: М(ε_i)=0.

2.  Дисперсия должна быть постоянной: D (ε_i)= const =σ²

3.  Коввариация должна быть равна 0: cov (ε _i,ε _j) = 0

4.   Независимость факторов между собой. Нарушение условия 4 – мультиколлениарность.

Имея строгую математическую формулировку и критерий проверки, условие 4 на практике проверяется на основе коэффициентов корреляции между факторами. Если коэффициенты корреляции между факторами по абсолютной величине больше, чем 0,5, то считается, что факторы зависимы между собой и мультиколлениарность –  существенна.

Еще одним из признаков мультиколлениарности являются большие стандартные ошибки при коэффициентах регрессии. Мультиколлениарность особенно часто имеет место при анализе данных, таких как доходы, производство, где присутствует инфляция. При наличии мультиколлинеарности коэффициенты регрессии нестабильны как в отношении статистической значимости, так и по величине и знаку. Следовательно, они не надежны.

Значение коэффициента детерминации может быть высоким, но стандартные ошибки при этом, как правило, тоже высоки. Следовательно, значения t -статистики достаточно малы, что не соответствует действительности. Для устранения мультиколлениарности нужно:

1. Увеличение объема выборки, потому что большое количество данных означает малую дисперсию оценок методом наименьших квадратов (МНК). Проблемы реализации этого варианта решения состоит в трудности нахождения дополнительных данных.

2. Исключаем некоторые переменные, которые высококоррелированы с остальными. Проблемы: переменные, возможно, были включены в модель на теоретической основе, и будет неправомочным их исключение только лишь для того, чтобы сделать статистические результаты лучше.

3. Использование методов оценивания коэффициентов регрессии, учитывающих мультиколлениарность.

Показатели адекватности

Качество подгонки оценивается на основе таких же показателей адекватности и тех же критериев, что и в однофакторном регрессионном уравнении. Остаточная дисперсия рассчитывается:

, где k – количество факторов, т.е. количество независимых переменных (X ¹, X ²,…, X^k  )

 Коэффициент детерминации рассчитывается по следующей формуле:

В многофакторном регрессионном уравнении (МРУ) введение дополнительных объясняющих факторов (переменных) должно увеличивать коэффициент детерминации. Следовательно, коэффициент детерминации должен быть скорректирован с учетом числа независимых переменных.

Скорректированный коэффициент детерминации:

Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть охарактеризовано с помощью частных коэффициентов эластичности, которые рассчитываются по формулам:

, i=1,...k

Частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов изменится результативный признак, если значение одного из факторных  признаков изменится  на один процент, а значение остальных факторных признаков остается неизменным.

Определенные выводы о влиянии отдельных факторов на результативный признак в случае линейной модели множественной регрессии можно сделать на основе расчета частных бета-коэффициентов, которые для многофакторной модели задаются формулами:

, i=1,...k

где  – средние квадратические ошибки выборки величин х₁, х₂,..., х _k, у соответственно.

,

Частные бета-коэффициенты показывают, на какую долю своего среднеквадратического отклонения S_y изменится в среднем результативный признак y при изменении одного из факторных признаков xⁱ на величину его среднеквадратического отклонения S_xi и неизменном значении остальных факторов.

Дельта-коэффициент позволяет оценить долю влияния фактора в суммарном влиянии всех факторов.

где  - коэффициент парной корреляции между факторами i (i=1,2,…k) и зависимой переменной.

F -статистика вычисляется по следующей формуле:

 

F-статистика проверяется на основе F ^табл со степенями свободы n ₁ = k и n ₂ = n - k -1, где k - количество независимых переменных или количество факторов. Если F ^расч больше F ^табл _, то гипотезу о том, что уравнение несущественно отвергаем.

 

Отбор существенных факторов

Особо важным для многофакторного регрессионного уравнения (МРУ) является t -критерий, на основе которого отбираются существенные факторы в уравнении регрессии.

На основе стандартной ошибки для каждого коэффициента регрессии оценивается t -статистика:

,    i =1,... k,

 где  – стандартная ошибка коэффициента b_i.

Стандартная ошибка коэффициента вычисляется:

Существенность влияния i -го  фактора на результат проверяется на основе  нулевой гипотезы Н0: b_i =0 . Если гипотеза верна, то t -статистика подчиняется t -распределению, t ^табл определяется для степени свободы n - k -1 с заданной вероятностью р. Если t ^расч больше t ^табл, то гипотезу Н0: b_j =0  отвергаем. Влияние j – го фактора признается существенным, в противном случае j – ый фактор, а также все остальные несущественные факторы исключаются из уравнения и уравнение регрессии строится снова со всеми вытекающими процедурами оценки адекватности и проверки выполнения условий для получения хороших оценок.

Отметим, что при наличии мультиколлениарности, искусственно увеличиваются значения стандартных ошибок, что приводит к уменьшению t -статистики для логически существенных связей.

В этом случае нужно применить методы оценивания с учетом мультиколлениарности.