Три основных класса экономико-математических моделей применяемых для анализа и прогнозирования

 

 

Можно выделить:

 

1 класс:

Модели временных рядов. Их общей чертой является то, что они объясняют поведение временного ряда, исходя из его предшествующих значений. Такие модели могут применятся например для изучения и прогнозирования объема продаж авиабилетов, спроса, на мороженное, курса акций, % ставок и т.д.

 

2 класс:

Регрессионные модели с одним уравнением. В таких моделях зависимая переменная представляется в виде функции.

 где х₁, х_2,,…..х _k –   независимые переменные.

- параметры коэффициентов регрессии

3 класс:        

Система одновременных уравнений.  

Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях – в правую часть системы:             

                                                   (6.1.)

Система взаимозависимых уравнений получила название системы совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные (у) одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений называется структурной формой модели.  

Структурная форма модели

Система совместных, одновременных уравнений (или структурная форма модели) содержит эндогенные и экзогенные переменные.

Эндогенные переменные обозначены в приведенной ранее системе одновременных уравнений как y. Это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе.

Экзогенные переменные обозначаются обычно как х. Это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, и не зависящие от них.

Структурная форма модели простейшая имеет вид:

где y – эндогенные переменные;

x – экзогенные переменные.

Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретической концепции принятой модели. Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других как экзогенные переменные. Внеэкономические переменные (например, климатические условия) входят в систему как экзогенные переменные. В качестве экзогенных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные). Так, потребление текущего года (y_t) может зависеть не только от ряда экономических факторов, но и от уровня потребления в предыдущем году (y_{t -1}).

Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных.

Структурная форма модели в правой части содержит при эндогенных и экзогенных переменных коэффициенты b_i и a_j (b_i – коэффициент при эндогенной переменной (), a_j – коэффициент при экзогенной переменной ()), которые называются структурными коэффициентами модели. Все переменные в модели выражены в отклонениях от среднего уровня, т.е. под х подразумевается , а под у – соответственно . Поэтому свободный член в каждом уравнении системы отсутствует.

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает, как принято считать в теории, смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели.

Приведенная форма модели

Приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных:

 

 

где    (),() – коэффициенты приведенной формы модели.

По своему виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которой оцениваются традиционным МНК. Применяя МНК, можно оценить , а за тем оценить значения переменных через экзогенные переменные.

Коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели. Рассмотрим это положение на примере простейшей структурной модели, выразив коэффициенты приведенной формы модели () через коэффициенты структурной модели (а _j и b_i). Для упрощения в модель не введены случайные переменные. Для структурной модели вида                                                          

Приведенная форма модели имеет вид

В которой у₂ из первого уравнения структурной модели можно выразить следующим образом:

Тогда система одновременных уравнений будет представлена как

 

Отсюда имеем равенство:

 или

Тогда  или

Таким образом, мы представили первое уравнение структурной формы модели в виде уравнения приведенной формы модели:

Из уравнения следует, что коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные соотношения коэффициентов структурной формы модели, т.е.

Аналогично можно показать, что коэффициенты приведенной формы модели второго уравнения системы (δ₂₁, δ₂₂) также нелинейно связаны с коэффициентами структурной модели. Для этого выразим переменную у₁   из второго структурного уравнения модели как

Запишем это выражение у₁ в левой части первого уравнения структурной формы модели

Отсюда , что соответствует уравнению приведенной формы модели:

 

 т.е.

Экономические модели обычно включают в систему не только уравнения, отражающие взаимосвязи между отдельными переменными, но и выражения тенденции развития явления, а также разного рода тождества. Так, в 1947 г., исследуя линейную зависимость потребления (с) от дохода (у), Т.Хавельмо предложил одновременно учитывать тождество дохода. В этом случае модель имеет вид:

где х – инвестиции в основной капитал и в запасы экспорта и импорта;

a и b – параметры линейной зависимости с от у.

Их оценки должны учитывать тождество дохода в отличие от параметров обычной линейной регрессии.

В этой модели две эндогенные переменные - с и у и одна экзогенная переменная х. Система приведенных уравнений составит:

Она позволяет получить значения эндогенной переменной с через переменную х. Рассчитав коэффициенты приведенной формы модели (А₀, А₁, В₀, В₁), можно перейти к коэффициентам структурной модели a и b, подставляя в первое уравнение приведенной формы модели.

Приведенная форма модели, хотя и позволяет получить значения эндогенной переменной через значения экзогенных переменных, аналитически уступает структурной форме модели, так как в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными.

Проблема идентификации

 

 

При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идентификация – это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

Рассмотрим проблему идентификации для случая с двумя эндогенными переменными. Пусть структурная модель имеет вид:

где у₁ и у₂ – совместные зависимые переменные.

Из второго уравнения можно выразить у₁  следующей формулой:

Тогда в системе имеем два уравнения для эндогенной переменной у₁ с одним и тем же набором экзогенных переменных, но с разными коэффициентами при них:

Наличие двух вариантов для расчета структурных коэффициентов одной и той же модели связано с неполной ее идентификацией. Структурная модель в полном виде, состоящая в каждом уравнении системы из n эндогенных и m экзогенных переменных, содержит n (n -1+ m) параметров. Так, при n =2 и m =3 полный вид структурной модели составит:

  (6.3.1.)                          Как видим, модель содержит восемь структурных коэффициентов, что соответствует выражению n (n -1+ m)=2*(2-1+3)=8.

Приведенная форма модели в полном виде содержит nm параметров. Для нашего примера это означает наличие шести коэффициентов приведенной формы модели, которая будет иметь вид:

На основе шести коэффициентов приведенной формы модели требуется определить восемь структурных коэффициентов рассматриваемой структурной модели, что, естественно, не может привести к единственности решения. n (n -1+ m)=8 параметров структурной модели не могут быть однозначно определены из nm =6 параметров приведенной формы модели.

Чтобы получить единственно возможное решение для структурной модели, необходимо предположить, что некоторые из структурных коэффициентов модели ввиду слабой взаимосвязи признаков с эндогенной переменной из левой части системы равны нулю. Тем самым уменьшится число структурных коэффициентов модели. Так, если предположить, что в нашей модели a ₁₃ =0 и a ₂₁ =0, то структурная модель примет вид:    (6.3.2.)     

В такой модели число структурных коэффициентов не превышает число коэффициентов приведенной модели, которое равно 6. Уменьшение числа структурных коэффициентов модели возможно и другим путем: например, путем приравнивания некоторых коэффициентов друг к другу, т.е. путем предположений, что их воздействие на формируемую эндогенную переменную одинаково. На структурные коэффициенты могут накладываться, например, ограничения вида .