Заглавная страница
Избранные статьи
Случайная статья
Познавательные статьи
Новые добавления
Обратная связь

ТОП 10 на сайте

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Техника нижней прямой подачи мяча.

Франко-прусская война (причины и последствия)

Организация работы процедурного кабинета

Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний

Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Обработка изделий медицинского назначения многократного применения

Образцы текста публицистического стиля

Четыре типа изменения баланса

Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву

Мы поможем в написании ваших работ!

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Влияние общества на человека

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Практические работы по географии для 6 класса

Организация работы процедурного кабинета

Изменения в неживой природе осенью

Уборка процедурного кабинета

Сольфеджио. Все правила по сольфеджио

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

Главная Избранные Случайная статья Познавательные Новые добавления Обратная связь FAQ

В в е д е н и е в э к о н о М е т р и к у

Стр 1 из 13Следующая ⇒

В В Е Д Е Н И Е В Э К О Н О М Е Т Р И К У

Базовое экономическое образование в современных условиях базируется на трех основных предметах: макроэкономика, микроэкономика и эконометрика. Если макро- и микроэкономика занимаются выявлением причинно-следственных связей между явлениями и процессами, то эконометрика занимается количественной оценкой и проверкой этих связей. Набор статистических методов, используемых для этих целей, называется в совокупности эконометрикой. Для успешного применения эконометрических методов требуется наличие базовых данных, которые точно или хотя бы приблизительно моделируют поведение эконометрических агентов.

В реальности модели неполные, то есть описывают только основную часть исследуемого процесса, а данные, используемые для построения этих моделей, несовершенные, то есть они могут быть неполными или в них могут присутствовать ошибки наблюдения.

«Эконометрика позволяет проводить количественный анализ реальных экономических явлений, основываясь на современном развитии теории и наблюдения, связанных с методами получения выводов».

(Самуэльсон)

«Основная задача эконометрики – наполнить эмпирическим содержанием априорные (абстрактные) экономические рассуждения».

(Клеин)

«Цель эконометрики – эмпирический вывод экономических законов. Эконометрика дополняет теорию, используя реальные данные для проверки и уточнения предполагаемых отношений».

(Маленво )

Эконометрика – наука, изучающая экономические зависимости на основе математических и экономико-статистических методов и моделей.

ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ

ЭКОНОМЕТРИКА

МАТЕМАТИКА СТАТИСТИКА

(теория вероятностей) - выборка и генеральная совокупность

- вероятности - проверка гипотез

- случайные величины

- законы распределения вероятностей

ВЕРОЯТНОСТЬ И СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

Основные понятия теории вероятностей.

Случайная величина.

1.3. Вероятностные характеристики случайной величины.

Основные понятия теории вероятностей

Вероятность – мера того, что какое-либо случайное событие произойдет, может принимать значения от 0 до 1.

Если вероятность событий равна 0, то такое событие называется невозможным.

Если вероятность событий равна 1, то – достоверным.

При изучении теории вероятностей необходимо знать определение некоторых основных требований.

Испытание – любое действие, которое приводит к определенному набору результатов.

Событие – конкретные результаты испытаний или их сочетания.

Пространство элементарных событий – множество всех возможных результатов.

Существует три подхода к определению вероятностей: классический, эмпирический и субъективный.

Эмпирический подход

К сожалению, в эконометрике, как и в других сферах, мы не всегда можем полагаться на точность процесса при определении вероятности, так исследователь может быть вынужден повторять испытание множество раз с целью определения вероятности наступления возможных событий. В таких случаях вероятность результата рассматривается как предел отношения числа наступления событий Z к числу всех событий, т.е. к числу проведения испытаний.

, где Т – количество испытаний, n (Z) –количество проявлений событий Z.

Этот подход анализирует историческую информацию с целью определения вероятности наступления события в будущем. Именно на этот подход мы будем опираться при рассмотрении эконометрических моделей, т.к. он позволяет на основании исторических данных выдвигать предположения относительно распределения вероятности в будущем.

Пример. Чему равна вероятность того, что посудомойщица уронит тарелку при ее мытье? Исходя из этого подхода вероятность того, что она уронит тарелку, равна:

Задача 2.

Определить вероятность выпадения двух орлов при трех бросаниях монеты.

Благоприятный исход: ООР, РОО, ОРО. Неблагоприятный исход: ООО, РРР, ОРР, РОР, РРО.

Р(А)=3/8

Случайная величина

Если связать каждое событие из множества событий, с каким – либо числом, то получим совокупность чисел, появление каждого из которых случайно. В результате проведения экспериментов, таким образом, мы получаем случайную величину.

Случайная величина (Х) - функция, принимающая действительные значения на множестве событий. С помощью этой функции мы ставим в однозначное их соответствие каждому событию некоторое число х _i (х _i – некоторая единственная точка на действительной оси). Следовательно, случайная величина – некоторое преобразование, которое каждому событию в пространстве событий ставит в соответствие единственное алгебраическое значение события х _i.

Случайная величина – такая величина, поведение которой не определено, а поскольку поведение не определено, то мы можем только приписать вероятности к возможным значениям таких величин.

Таким образом, случайная величина определяется ее распределением в вероятности (т.е. с какой вероятностью величина принимает те или иные числовые значения).

Случайные величины подразделяются на дискретные и непрерывные.

Характеристики плотности

Случайная величина х

Дискретная

Непрерывная

Область определения

Условия неотрицательности и нормировки

Условие неотрицательности для непрерывных и дискретных распределений означает, что плотность вероятности не может принимать отрицательные значения (в противном случае вероятность некоторых событий могла бы быть отрицательной). Условие нормировки показывает, что сумма вероятностей по всему пространству событий должна быть равна 1.

Самой важной вероятностной характеристикой случайной величины является функция распределения, определяемая следующим образом.

Рассмотрим случай с бросанием игровой кости. Пусть -случайная величина, представляющая количество выпавших очков, тогда плотность вероятности и функция распределения вероятности случайной величины х определяется следующим образом:

p(x)–равномерная дискретная функция т.к. любые значения случайной величины принимаются с одинаковыми вероятностями.

р(х)

1 Функция распределения P (X)

5/6

4/6

3/6

2/6

Плотность вероятности p (x)

1/6

1 2 3 4 5 6 х

Пример для непрерывной величины.

Стрелка длиной L закреплена подвижно на оси в центре круга, радиус которого также равен L. На окружности выбирается точка отсчета, стрелка вращается в направлении часовой стрелки, по окружности измеряется расстояние х, пройденное стрелкой от точки отсчета. Такая случайная величина х является непрерывной, принимающей значения из интервала . Нет, ни каких оснований считать, что стрелка будет иметь тенденцию останавливаться в некоторой области окружности чаще, чем в других областях. Поэтому все значения х из интервала могут приниматься с равной вероятностью и распределение х должно быть равномерным.

1 Функция распределения F (Х)

Плотность вероятности f (x)

2П L

Примеры законов распределения

1 пример.

Равномерное распределение:

плотность f (x)

а в

2 пример.

Нормальное распределение так же называют распределением Гаусса – Лапласа. Распределение вероятностей случайной непрерывной величины х называется нормальным, если ее закон распределения вероятностей определяется плотностью вероятности.

плотность причем М (х) =а (математическое ожидание)

среднее квадратичное отклонение

Д(х)= дисперсия.

3 пример.

Распределение χ² с п степенями свободы.

χ² =

Где ε₁,…… ε_n – независимые стандартные нормальные случайные величины, т.е. .

4 пример.

Распределение Стьюдента (t –распределение с n - степенями свободы). Пусть ε_0, ε_1,…… ε_n независимые случайные переменные.

- называют распределением Стьюдента или t –распределением с n степенями свободы.

5 пример.

Распределение Фишера (распределение F, Фишера – Спенсера).

Пусть ε₁,……, ε_m,, η₁,….,. η_n - совокупность независимых стандартных нормальных случайных величин.

Распределение случайной величины с (m, n) степенями свободы.

1.3.3. Математическое ожидание

Математическое ожидание.

для дискретных для непрерывных

где х_i- дискретная величина; х – непрерывная величина;

p_i- ее вероятность; f(x)- плотность вероятности.

Свойства математического ожидания:

Пусть х,у - произвольные случайные величины, а и в- const, тогда

1⁰. М (а)=а

2⁰. М (ах+в) = а М(х) +в

3⁰. М (х+у) = М(х) + М(у)

4⁰. М (х у) = М (х) * М(у)

5⁰. х ³ у, то М(х) ³ М(у)

Интервальное оценивание.

Вычисление выборочных статистических показателей в качестве оценки параметров генеральной совокупности дает нам точечную оценку. Однако эта оценка будет сделана с некоторой ошибкой, называемой оценочной. Следовательно, нужен механизм, который бы позволил определить степень доверия к этим точечным оценкам.

Таким образом, мы подошли к определению доверительного интервала.

При построении доверительного интервала истинные значения вероятностной характеристики считаются неизвестными, для них строится интервал на основе табличных и расчетных значений статистики.

Расcмотрим пример построения доверительного интервала для математического ожидания.

Величина t подчиняется t – распределению.

, t ^табл – с n -1 степенями свободы, с заданной вероятностью р: - величина определяется по таблице распределения Стьюдента, тогда для М₀ получится следующее неравенство:

Метод наименьших квадратов

Для статистической проверки взаимосвязи между х и у необходимо найти значения коэффициентов а и в, а также случайную компоненту ε_i (линейная модель – y_i=a+bx_i+ε_i). Метод оценки этих коэффициентов должен давать «хорошие» оценки. Чаще других для этого используют метод наименьших квадратов, который дает наилучшие несмещенные оценки. Он называется так, потому что при расчете параметров стараются найти линию минимизирующую сумму квадратов отклонений (значений ошибок, расхождения между фактическими и расчетными значениями у (зависимая переменная)). На графике нанесены наблюдения х _i, у _i (любая точка). Комментируя график, можно сделать вывод:

1. Точки не лежат на одной прямой, можно лишь провести некоторую линию в непосредственной близости от всех точек

2. Можно сделать допущение, что х и у связаны линейной зависимостью.

х х

То есть, можно построить некоторую прямую отражающую зависимость между х_i и у _i,

х_i и у _i – экономические (фактические) переменные,

ŷ - теоретические или расчетные значения зависимой переменной,

и – оценочные значения коэффициентов а и в.

Для того чтобы теоретическая прямая лежала в непосредственной близости от всех точек, то есть от фактических значений у _i, необходимо минимизировать сумму квадратов отклонений между практическими и расчетными значениями.

Продифференцировав данное уравнение по и , получим систему уравнений:

Получаем

Раскрыв скобки, получаем стандартную форму нормальных уравнений:

Из этой системы находится оценочное значение коэффициентов а и в, т.е. и :

Случайная компонента ε_i находится как разница между фактическим у _i и расчетным значениями : .

F -статистика

Близкое к 0 значение свидетельствует об отсутствии какой-либо тенденции для у_iв связи с изменением х_i. Строгое решение об опровержении линейной связи между х и у принимается на основе F -статистики.

Если F ^табл меньше F ^расч, то гипотезу об отсутствии линейной связи отвергаем с заданной вероятностью р. F ^табл находим из таблицы распределения Фишера (F -распределение). Для F ^табл используются степени свободы: n ₁ =1, n ₂ = n -2.

Стьюдраспобр, Fраспобр

T -статистика

Отдельно исследуется коэффициент регрессии b. Выдвигается гипотеза о том, что х влияет на у несущественно, т.е. изменяется по каким-либо другим причинам, а не в связи с изменениями х. Выдвинутая гипотеза равноценна тому, что Н0: b =0. Если эта гипотеза верна, то t -статистика подчиняется t -распределению со степенью свободы n -2.

t -статистика вычисляется по формуле:

, где – стандартная ошибка коэффициента b.

Стандартная ошибка коэффициента вычисляется:

По общей процедуре проверки гипотезы находим t^табл с заданной вероятностью р и степенью свободы n -2. Если t^расч > t^табл, то с заданной вероятностью р гипотезу Н0: b=0 отвергаем.

t-статистика используется при построении доверительного интервала для коэффициента b.

;

.. .

. ..

. .

Проверка, равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю, осуществляется в ходе проверки соответствующей нулевой гипотезы. Н0: . С этой целью строится t – статистика

где - среднее арифметическое значение уровней ряда остатков ;

– среднеквадратическое отклонение для этой последовательности, рассчитанное по формуле для малой выборки.

На уровне значимости гипотеза отклоняется, если > , – критерий распределения Стьюдента с доверительной вероятностью (1– ) и = n – 1 степенями свободы.

Нарушение условия 2: D (ε _i) ≠ const

Если остатки имеют постоянную дисперсию (рассеивание), то они называются гомоскедастичными.

Если остатки непостоянны (нарушение условия 2), то они называются гетероскедастичными.

Воздействие гетероскедастичности на оценку интервалов прогнозирования и проверку гипотезы заключается в том, что хоть оценки не смещены, но стандартные ошибки будут смещены. Если смещение отрицательно, то оценочная стандартная ошибка будет меньше, чем она должна быть, а критерии проверки будут больше, чем в реальности. Можно сделать вывод, что коэффициент значим, когда он таковым не является, и наоборот, если смещение положительно, то оценочные ошибки будут большими, чем они должны быть, а критерий проверки меньше. Значит, мы можем принять нулевую гипотезу, в то время как она должна быть отвергнута.

Для проверки условия 2 существует несколько критериев. Один из них основывается на том, что величина F подчиняется F -распределению со степенями свободы n ₁ = n /2-1 и n ₂ = n /2-1

Если проверяется гипотеза Н0 о росте дисперсии, то F ^расч должно быть меньше F ^табл. Если проверяется гипотеза об уменьшении дисперсии, то F ^расч больше F ^табл.

Нарушение условия 3 означает, что между ошибками разных наблюдений есть какая-то взаимосвязь. Графически это можно представить в следующем виде:

Нарушение условия 3 называется автокорреляцией, известной также как серийная корреляция.

Автокорреляция имеет место, когда остатки не являются независимыми друг от друга. Зависимость между остатками описывается с помощью авторегрессионой схемы.

Допустим, что остаток находится под влиянием остатка из предшествующего периода времени и какого-либо текущего значения случайной переменной у _t, тогда остаток будет описываться следующей авторегрессионной моделью: - форма авторегрессионной модели первого порядка (или модель А R (1)).

Наличие (отсутствие) автокорреляции в отклонениях от модели роста проще всего проверить с помощью критерия Дарвина-Уотсона. С этой целью строится статистика Дарвина-Уотсона (d -статистика (D - W)), в основе которой лежит расчетная формула

Теоретическое основание применения этого критерия обусловлено тем, что в динамических рядах, как сами наблюдения, так и отклонения от них распределяются в хронологическом порядке.

При отсутствии автокорреляции значение d ^расч примерно равно 2, а при полной автокорреляции – 0 или 4. Следовательно, оценки, получаемые по критерию, являются не точечными, а интервальные. Верхние (d₂) и нижние (d₁) критические значения, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции, зависят от количества уровней динамического ряда и числа независимых переменных модели. Фрагмент табличных значений этих границ для различного числа уровней ряда n и числа определяемых параметров модели k представлен в таблице (уровень значимости =0,05).

Таблица

n	k=1		k=2		k=3
n	d₁	d₂	d₁	d₂	d₁	d₂
15 20 30	1,08 1,20 1,35	1,36 1,41 1,49	0,95 1,10 1,28	1,54 1,54 1,57	0,82 1,00 1,21	1,75 1,68 1,65

При сравнении расчетного значения d ^расч с табличным могут возникнуть следующие ситуации:

1. d ₂ < d ^расч < 2 – ряд остатков не коррелирован;

2. d ^расч < d ₁ – остатки содержат автокорреляцию;

3. d ₁ < d ^расч < d ₂ – область неопределенности, когда нет оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу о существовании автокорреляции.

4. Если d _расч превышает 2, то при наличии автокорреляции это свидетельствует о наличие отрицательной корреляции. Перед входом в таблицу такие значения следует преобразовать по формуле d '_расч= 4 - d ^расч

Если же ситуация оказалась неопределенной (ситуация 3.), применяют другие критерии. В частности, можно воспользоваться первым коэффициентом автокорреляции:

Для суждения о наличии или отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду расчетное значение коэффициента автокорреляции сопоставляется с табличным (критическим) для 5%-го или 1%-го уровня значимости (вероятности допустить ошибку при принятии нулевой гипотезы о независимости уровней ряда). Если расчетное значение коэффициента автокорреляции меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду может быть принята. Когда же расчетное значение больше табличного, делают вывод о наличии автокорреляции в ряду динамики.

Установив наличие автокорреляции остатков, надо улучшать модель.

Показатели адекватности.

Показатели адекватности

Качество подгонки оценивается на основе таких же показателей адекватности и тех же критериев, что и в однофакторном регрессионном уравнении. Остаточная дисперсия рассчитывается:

, где k – количество факторов, т.е. количество независимых переменных (X ¹, X ²,…, X^k )

Коэффициент детерминации рассчитывается по следующей формуле:

В многофакторном регрессионном уравнении (МРУ) введение дополнительных объясняющих факторов (переменных) должно увеличивать коэффициент детерминации. Следовательно, коэффициент детерминации должен быть скорректирован с учетом числа независимых переменных.

Скорректированный коэффициент детерминации:

Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть охарактеризовано с помощью частных коэффициентов эластичности, которые рассчитываются по формулам:

, i=1,...k

Частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов изменится результативный признак, если значение одного из факторных признаков изменится на один процент, а значение остальных факторных признаков остается неизменным.

Определенные выводы о влиянии отдельных факторов на результативный признак в случае линейной модели множественной регрессии можно сделать на основе расчета частных бета-коэффициентов, которые для многофакторной модели задаются формулами:

, i=1,...k

где – средние квадратические ошибки выборки величин х₁, х₂,..., х _k, у соответственно.

Частные бета-коэффициенты показывают, на какую долю своего среднеквадратического отклонения S_y изменится в среднем результативный признак y при изменении одного из факторных признаков xⁱ на величину его среднеквадратического отклонения S_xi и неизменном значении остальных факторов.

Дельта-коэффициент позволяет оценить долю влияния фактора в суммарном влиянии всех факторов.

где - коэффициент парной корреляции между факторами i (i=1,2,…k) и зависимой переменной.

F -статистика вычисляется по следующей формуле:

F-статистика проверяется на основе F ^табл со степенями свободы n ₁ = k и n ₂ = n - k -1, где k - количество независимых переменных или количество факторов. Если F ^расч больше F ^табл _, то гипотезу о том, что уравнение несущественно отвергаем.

Отбор существенных факторов

Особо важным для многофакторного регрессионного уравнения (МРУ) является t -критерий, на основе которого отбираются существенные факторы в уравнении регрессии.

На основе стандартной ошибки для каждого коэффициента регрессии оценивается t -статистика:

, i =1,... k,

где – стандартная ошибка коэффициента b_i.

Стандартная ошибка коэффициента вычисляется:

Существенность влияния i -го фактора на результат проверяется на основе нулевой гипотезы Н0: b_i =0 . Если гипотеза верна, то t -статистика подчиняется t -распределению, t ^табл определяется для степени свободы n - k -1 с заданной вероятностью р. Если t ^расч больше t ^табл, то гипотезу Н0: b_j =0 отвергаем. Влияние j – го фактора признается существенным, в противном случае j – ый фактор, а также все остальные несущественные факторы исключаются из уравнения и уравнение регрессии строится снова со всеми вытекающими процедурами оценки адекватности и проверки выполнения условий для получения хороших оценок.

Отметим, что при наличии мультиколлениарности, искусственно увеличиваются значения стандартных ошибок, что приводит к уменьшению t -статистики для логически существенных связей.

В этом случае нужно применить методы оценивания с учетом мультиколлениарности.

Эксплуатация моделей.

Этапы построения:

1) Выясняется зависимость одной переменной от другой – проверка гипотез.

2) Данная связь измеряется

3) Прогнозирование на основе исходных уравнений

Постановка задачи:

На этом этапе определяются цели построения модели. Все задачи, решаемые на основе регрессионного анализа, можно сгруппировать в 3 группы:

1) Установление наличия связи между эконометрическими переменными. (Например, влияет ли активность солнца на урожайность культур).

2) Количественная оценка

3) Построение регрессионного уравнения для прогнозирования

V продаж

Мороженного

З В Л О З t

Далее, говоря о сезонности будем иметь ввиду, что все сказанное справедливо и для строго периодических колебаний.

5.2. Тренд и нестрого периодические циклические колебания (U_t и K_t)