Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Техника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ? Влияние общества на человека Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления	Главная Избранные Случайная статья Познавательные Новые добавления Обратная связь FAQ Самостійне вивчення з розробкою конспекту та розв’язуванням задач. ⇐ ПредыдущаяСтр 20 из 20 План   1.Арифметична прогресія. 2.Формула n-го члена арифметичної прогресії. 3. Сума перших п членів арифметичної прогресії. 4. Геометрична прогресія. 5. Формула п-го члена геометричної прогресії. 6.Формули суми перших п членів геометричної прогресії. 7.Нескінченна геометрична прогресія, у якої | q | < 1   Форми поточного та підсумкового контролю самостійної роботи: 1.Поточний: · розв’язування задач. · складання опорних конспектів 2.Підсумковий: ·  контрольна робота ·  державна підсумкова атестація   Лекційний матеріал до теми Арифметична прогресія Арифметична прогресія — числова послідовність, у якій кожний наступний член, починаючи з другого, дорівнює попе­редньому члену, до якого додається те саме число. Це число називають різницею арифметичної прогресії.
Приклад. 1; 3; 5; 7; 9 — арифметична прогресія. 3 – 1 = 5 – 3 = 7 – 5 = 9 – 7 = 2; 2 — різниця арифметичної про­гресії.
	Рекурентна формула арифметичної прогресії
	ап +1 = ап + d, d — різниця арифметичної прогресії. d = a п+ 1 – ап.
Властивості арифметичної прогресії
1. , де п > 1 ап — п-й член арифметичної прогресії, є середнім арифме­тичним двох сусідніх за ним членів.
2. Якщо (ап) — арифметична прогресія (скінченна), то:
Сума двох членів скінченної арифметичної прогресії, які рівновіддалені від її кінців дорівнює сумі крайніх членів цієї прогресії.
3. Теорема. Будь-яка арифметична прогресія (ап) може бути задана формулою an = kn + b, де k і b — деякі числа; і на­впаки, якщо послідовність (ап) задана формулою an = kn + b, де k і b — деякі числа, то ця послідовність є арифметичною прогресією.

2.Формула n -го члена арифметичної прогресії

де an — п -й член арифметичної прогресії; а 1— перший член арифметичної прогресії; d — різниця арифметичної прогресії; п — номер члена арифметичної прогресії.

Приклад. Знайдемо а 9, якщо (ап) — арифметична прогре­сія, перші члени якої: 7,8; 8,9; 10;.... Розв'язання Знайдемо різницю арифметичної прогресії, у якої а 1 = 7,8; a 2 = 8,9; a 3 = 10: d = a 3 – a 2= 10 – 8,9 = 1,1. Формула п -го члена арифметичної прогресії має вигляд an = a 1 + d (n – 1). Враховуючи, що а 1= 7,8, d = 1,1, маємо: ап = 7,8 + 1,1(п – 1). Отже, а 9 = 7,8 + 1,1(9 – 1) = 7,8 + 8,8 = 16,6. Відповідь: а 9 = 16,6.

3. Сума перших п членів арифметичної прогресії 1. Якщо a 1 і an — перший і п -й члени арифметичної прогре­сії (а n), то сума Sn перших п членів цієї прогресії дорівнює: 2. Якщо a 1 і d — перший член і різниця арифметичної про­гресії (ап), то сума Sn перших п її членів дорівнює: Приклад. Знайдемо суму перших десяти членів арифметич­ної прогресії (а n), у якої: 1) a 1 = 10, а 2 = -10; 2) а 1 = 2, d = -3. Розв'язання 1) S 10 =  ∙ 10 =  ∙ 10 = 0; 2) S 10 =   ∙ 10 = (2 a 1 + 9 d) ∙ 5 = (2 ∙ 2 + 9 ∙ (-3)) ∙ 5 = (4 – 27) ∙ 5 = = -23 ∙ 5 = -115. Відповідь: 1) 0; 2) -115.

Геометрична прогресія.

Геометричною прогресією називається послідовність від­мінних від нуля чисел, кожний член якої, починаючи з друго­го, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число (знаменник геометричної прогресії).

Приклад. 3; 9; 27; 81; 243;... — геометрична прогресія, бо а2 = а1 ∙ 3;       а3 = а2 ∙ 3; а4 = а3 ∙ 3;.... (3 — знаменник цієї про­гресії).

Рекурентна формула геометричної прогресії

Якщо (bп) — геометрична прогресія, то bn+1 = bnq, де bп — п-й член; q — знаменник геометричної прогресії. З рекурентної формули випливає:

Властивості геометричної прогресії:

а) для кожного члена геометричної прогресії, починаючи з дру­гого:  —характеристична властивість;

б) якщо (bп) — скінченна геометрична прогресія, то b1 ∙ bn = b2 ∙ bn-1 = b3 ∙ bn-2 = const (b1 і bn — крайні члени цієї прогресії).

5. Формула п-го члена геометричної прогресії

Якщо (b n) — геометрична прогресія, то bn=blqn-1, де b1 — перший член геометричної прогресії; q — знаменник геометричної прогресії.

Приклад 1. Знайдемо шостий член геометричної прогре­сії (b1): ; 1; 5;.... Розв'язання b1 = ; q =  = 5; b6 = b1 ∙ q5 =  ∙ 55 = 54 = 625. Відповідь: 625.

Приклад 2. Знайдемо перший член геометричної прогресії (bn), якщо      b7 = 32; q = -2. Розв'язання b7 = b1 ∙ q6  b1 =  =  = . Відповідь: .

Приклад 3. Знайдемо знаменник геометричної прогресії (bn), у якої        b7 = -12, b9 = -108. Розв'язання b9 = b1 ∙ q8; b7 = b1∙ q6  = q2; q2 =  = 9, тоді q = 3 або q = -3. Відповідь: 3 або -3.

6.Формули суми перших п членів геометричної прогресії

Якщо (b n) — геометрична прогресія, q — її знаменник, a Sn — сума перших n її членів, то:                                       (1)                                   або  (2) ! Зауваження: якщо q = 1, то Sn = b1 ∙ n (b1 = b2 =... = bn).

Приклад 1. Знайдемо суму перших восьми членів геометрич­ної прогресії (bn): 3; -6; 12;.... Розв'язання Маємо b1 = 3, q =  = -2, тоді за формулою (2): S8 =  =  = = -255. Відповідь: -255.

Приклад 2. Знайдемо перший член геометричної прогресії (bп), якщо її четвертий член утричі більший за третій, а сума перших п'яти членів дорівнює -12,1. Розв'язання Оскільки b4 = 3b3, то q = 3. За умовою S5 = -12,l, тому, оскільки , тобто ; -12,1 = 121b1; b1 = -0,1. Відповідь: -0,1.

7. Нескінченна геометрична прогресія, у якої | q | < 1

Приклади: а) 1; ; ; ;... q = , | q | < 1; б) 3; ; ;... q = , | q | < 1; в) 100; 10; 1; ;... q = , | q |< 1; г) 32; 0,32; 0,0032;... q = , | q | < 1.

Якщо (bn) — нескінченна геометрична прогресія, у якої | q | < 1, то сума всіх її членів S обчислюється за формулою

Приклад 1. Знайдемо суму нескінченної геометричної про­гресії (bn): 6; -2;.... Розв'язання За умовою b1 = 6; b2 = -2, отже, q =  = . Маємо геометрич­ну прогресію, у якої | q | < 1. За формулою  знаходимо: . Відповідь; 4,5.

Приклад 2. Запишемо число 0,(7) у вигляді звичайного дробу. Розв'язання Запис 0,(7) означає нескінченний періодичний дріб 0,7777.... Його можна подати як нескінченну суму  +  +  + …. До­данки цієї суми є членами нескінченної геометричної прогресії, у якої b1 = , q =  :  = , | q | < 1. Тоді ця сума дорівнює:  . Тому 0,(7) = . Відповідь: .

 

№1. Знайдіть перші чотири члени арифметичної прогресії (а _n), якщо а ₁ = 1,2, d = -0,l.

№2.Знайдіть різницю і сотий член арифметичної прогресії (а_п):2,7; 3,1; 3,5;... №3.Між числами -4 і 5 вставте п'ять таких чисел, щоб вони разом із даними числами утворювали арифметичну прогресію.

№4.Дана арифметична прогресія: 2; 1,8; 1,6;.... Знайдіть її най­більший від'ємний член.

№5. Знайдіть суму:

а) перших шістнадцяти членів арифметичної прогресії, якщо її перший і шістнадцятий члени відповідно дорівнюють 3 і -5;

б) перших шістнадцяти членів арифметичної прогресії, якщо її перший член дорівнює 6, а різниця 3;

в) перших сорока семи членів арифметичної прогресії, яка задана формулою загального члена а_п = 3 п – 1;

г) членів арифметичної прогресії з 6-го по 23-й включно, якщо перший член дорівнює 28, а п'ятий дорівнює 16.

№6. Знайдіть суму:

а) перших п'яти членів геометричної прогресії (b _п), якщо b ₁ = 8, q = ;

б) перших шести членів геометричної прогресії (b _п): ; ; ; …;

в) перших семи членів геометричної прогресії (b _п), якщо вона за­дана формулою загального члена b _п = 3 ∙ 2 ^{n +1};

г) перших п'яти членів геометричної прогресії (b _п), якщо сума другого і третього її членів дорівнює -12, а різниця четвертого і другого членів дорівнює 48.

 

 

Література

 

1. Г.П.Бевз. Математика. 10.  Зодіак - ЕКО.

 

2. Є.П.Нелін, О.Є.Долгова Алгебра і початки аналізу. Дворівневий підручник для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів (Харків. Світ дитинства. 2006)

 

3. М.І.Шкіль, З.І.Слєпкань, О.С.Дубинчук. Алгебра і початки аналізу. 10-11.

 

4.  Є.П.Нелін Алгебра і початки аналізу. Дворівневий підручник для 11 класу загальноосвітніх навчальних закладів (Харків. Світ дитинства. 2006)

 

5. О.В.Погорєлов. Геометрія 10-11.

 

6. Математика. 10 клас О. М. Афанасьєва, Я. С. Бродський, О. Л. Павлов, А. К. Сліпенко. Навчальна книга – Богдан

 

7.  Валєєв К. Г., Джалладова І. А. В 15 Елементарна математика для студентів, слухачів ПО, абітурієн­тів: Навч. посіб. — К.: КНЕУ, 2006.

 

8. Алгебра: підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закл. / Г. П. Бевз, В. Г. Бевз. — К.: Зодіак-ЕКО, 2009.

 

9. А.Г.Мерзляк,     Алгебра: Підручн. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закладів. — Х.: Гімназія, 2009.

 

10. БУРДА М.І. та інші   Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики: Книга 1, Книга 2.

 

11. Г.М. Литвиненко. Збірник завдань для державної підсумкової атестації. Геометрія.

 

12. Л.М.Лоповок. Геометрія.