Самостійне вивчення з розробкою конспекту та розв’язуванням задач.

План.

1. Що таке криволінійна трапеція?

2. Площі фігур, які можна обчислити за допомогою криволінійних трапецій.

Форми поточного та підсумкового контролю самостійної роботи:

1.Поточний:

· усне  опитування

·  розв’язування задач.

2.Підсумковий:

· тематична контрольна робота

·  державна підсумкова атестація

Лекційний матеріал до теми

На практиці часто доводиться обчислювати площі фігур, які не є криволінійними трапеціями.

Якщо треба обчислити площу фігури, обмежену декількома лініями, то знаходять криволінійні трапеції, переріз або об'єднан­ня яких є дана фігура, обчислюють площі кожної із них і знахо­дять різницю або суму площ цих криволінійних трапецій.

Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графі­ком неперервної функції у = f (x), яка не змінює знак на відрізку [ а; b ], прямими x = а, х = b і відрізком [ а; b ]

Приклад 1. Побудуйте криволінійну трапецію, об­межену лініями у = cos x, у = 0, ,

Розв'язання

Криволінійну трапецію зображено на рисунку. Одна із первісних функції у =cos х є F (x) = sin x, тоді

Відповідь: 2.

Приклад 3. Знайдіть площу фігури, обмеженої параболами у = х² і у = 2х - х² та віссю ОХ.

Розв'язання

 

Побудуємо графіки функцій у = х² і у = 2х - х² і знайдемо абсциси то­чок перетину цих графіків із рівнян­ня: х ² = 2 х – х ². Корені цього рівнян­ня х ₁ = 0, х ₂ = 1. Дана фігура зобра­жена на рис.

Із рисунка видно, що ця фігура складається з двох криволінійних трапецій: ОАВ і ВАС.

Отже, шукана площа дорівнює сумі площ цих трапецій: Відповідь: 1.

 

№1. Обчисліть (спочатку побудувавши рисунок) площу фігури, об­меженої лініями:

а) у = x ² + 1, у = x + 3;

б) у = 4 - х², у = x + 2, у = 0

Відповідь: а) 4,5; б) 6  

2. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями:

а) у = х³, у - 2х - х², у = 0;               б) у = , у = х;

в) у = , у = 2 - х², х = 1, у = 0;            г) у = х³, у = .

Відповідь: а) ; б) ; в) 2  г) .

3. Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями:

а) у = х²; у = 2 х ² - 1 б) у = х ² - 2х + 2, у = 2 + 4 х - х².

Відповідь: а) ; б) 9.

4. Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями:

а) у = e ^х, у = е ^{- x}, у = e; б) y = sinx, y = cosx, .

Відповіді: а) 2; б) 2 - .

 

П.3. Застосування визначеного інтегралу в економіці, техніці, фізиці.

Література:

1 Є.П.Нелін, О.Є.Долгова Алгебра і початки аналізу. Дворівневий підручник для 11 класу загальноосвітніх навчальних закладів (Харків. Світ дитинства. 2006)

2. О.М.Роганін. Плани-конспекти уроків

3.М.І. Шкіль, З.І.Слєпкань. Алгебра і початки аналізу.11

Методичні вказівки:

Студенти повинні вміти:

Застосовувати визначений інтеграл для розв’язування практичних задач з фізики, технічні задачі, економічні задачі.

Питання для самоконтролю:

1. Як за допомогою визначеного інтегралу можна обчислити шлях тіла?

2. Як за допомогою визначеного інтегралу можна обчислити роботу змінної сили?

3. Як за допомогою визначеного інтегралу можна обчислити масу неоднорідного стержня?

4. Як за допомогою визначеного інтегралу можна обчислити величину заряду?

5. Як за допомогою визначеного інтегралу можна обчислити обсяг продукції?