Самостійне вивчення з розробкою конспекту та розв’язуванням задач.

План

1. Розміщення.

2. Перестановки.

3. Сполучення.

Форми поточного та підсумкового контролю самостійної роботи:

1.Поточний:

· розв’язування задач.

2.Підсумковий:

·  контрольна робота

·  державна підсумкова атестація

Лекційний матеріал до теми

Розрізняють три основні види з’єднань: розміщення, перестановки і сполучення.

Задачі, в яких здійснюється підрахунок можливих різних з’єднань, складених з кінцевого числа елементів за деяким правилом, називаються комбінаторними. Розділ математики, який займається їх розв’язання називається комбінаторикою.

1.Розміщення. Розміщеннями з  елементів по  в кожному називаються такі з’єднання, які відрізняються один від одного або елементами (хоча б одним), або порядком їх розташування.

Число розміщень з  елементів по  позначається символом  і обчислюється за формулою

                             

2.Перестановки. Перестановками з  елементів називаються такі з’єднання з усіх  елементів, які відрізняються одне від одного порядком розташування елементів.

Число перестановок з  елементів позначається символом

Перестановки являють собою окремий випадок розміщення з  елементів в кожному, тобто

або

                                     

Серед усіх перестановок з  елементів рівне добутку послідовних чисел від 1 до  включно. Добуток  позначають символом  (читається «п -факторіал»), причому вважають  причому рівність можна переписати у вигляді

                                                 

Використовуючи формулу (16.3), формулі (16.1) можна надати вигляду

                                             

При розв’язанні задач часто використовується рівність

                                          

3.Сполучення. Сполученнями з  елементів по  в кожному називають з’єднання, які відрізняються одне від одного хоча б одним членом.

Сполучення з  елементів по  позначається . Вона знаходиться

                                             

Можна записати також у вигляді

       або       

Крім того, при розв’язанні задач використовуються наступні формули, що виражають основні властивості сполучень:

                                     

(за визначенням вважають  і );

                                      

Приклад 1. Знайти число розміщень: 1) з 10 елементів по 4; 2) з  елементів по

Розв’язування.

 Згідно з формулою  отримуємо:

1)

2)

Приклад 2. Розв’язати рівняння

Розв’язування.

Використовуючи формулу  перепишемо рівняння у вигляді

Враховуючи, що  розділимо обидві його частини на  тоді маємо

Приклад 3. Скласти всі можливі перестановки з елементів 1)  2)

Розв’язування.

1)   3)

Приклад 4. Обчислити значення виразів: 1)   2)

Розв’язування.

1)

2)

Приклад 5. Обчислити: 1)  2)

Розв’язування.

Згідно з формулою (16.7), отримаємо:

1)

2)

Приклад 6. Розв’язати систему рівнянь

Розв’язування.

Розв’яжемо друге рівняння:  Так як  то  не задовольняє умові задачі.

Підставивши  в перше рівняння системи, отримаємо  Використовуючи формулу (16.9), маємо  Тоді  і, таким чином,  звідки  Таким чином, отримуємо відповідь:

№1. Знайти число розміщень: 1)  2)

№2. Обчисліть: 1)   2)   3)

№3.30 учнів обмінялися один з одним фотокартками. Скільки всього було роздано карток?

№4. Розв’яжіть рівняння: 1) 2) 3)

№5.  Розв’яжіть рівняння: 1) 2) 3)

№6. Розв’яжіть рівняння: 1) 2) 3) 4) 5)

№7. Складіть усі можливі перестановки з літер:

№8. Обчисліть значення наступних виразів: 1) 2)

№9. Доведіть тотожності

1)   2)

№10. Скоротіть дроби: 1) 2) 3)

№11. Виконайте дії:

1)   2) .

№12. Обчисліть: 1)   2)   3)   4)

№13. Перевірте рівності:

1)   2)   3)   4)

№14. Перевірте рівності: 1)   2)

№15. Число сполучень з  елементів по 3 в п’ять разів менше числа сполучень з  елементів по 4. Знайти .

№16. Скількома способами з 15 робочих можна складати бригади по 5 чоловік в кожній?

№16. Розв’яжіть системи рівнянь:

1)   2)