П.2. Теореми про паралельні площини

Література:

1.О.В. Погорєлов. Геометрія 10-11

2. О.М.Роганін. Плани-конспекти уроків

Методичні вказівки:

Теорема1. Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні або п аралельні площини перетинаються січною площиною по паралельних прямих.

 

                                          

Рис 1

Теорема2. Якщо a₁ || a₂; А₁ Î a₁, В₁ Î a₁, А₂ Î a₂, А₁А₂ || В₁В_2, то А₁А₂ = В₁В₂.

 

           Рис 2

Студенти повинні вміти:

Розв’язувати задачі на застосування теорем про паралельні площини

Питання для самоконтролю:

1. Сформулюйте теорему про лінії перетину двох паралельних площин третьою площиною.

2. Дві паралельні площини a і b перетинаються площиною γ по прямих а і b (рис. 3). Укажіть, які з тверджень правильні, а які — неправильні:

а) прямі а і b можуть бути мимобіжними;

б) прямі а і b обов'язково парале льні; Рис 3 

в) пряма а паралельна площині b;

г) будь-яка пряма, яка лежить у площині γ, обов'язково перетинає обидві площини a і b.

3. Сформулюйте теорему про властивість паралельних відрізків, які ле­жать між паралельними площинами.

4. Площини a і b паралельні (рис. 4). Паралельні прямі а і b перети­нають площину a в точках А₁, В₁, а площину b — в точках А₂, В₂. Укажіть, які з тверджень правильні, а які — неправильні:

а) А₁А₂ = В₁B₂;

б) прямі А₁B₁ і А₂В₂ паралельні;

в) прямі А₁В₂ і А₂В₁ мимобіжні;

г) прямі А₁В₂ і А₂B₁ перетинаються.

                                                                                            Рис 4

Самостійне вивчення з розробкою конспекту та розв’язуванням задач.

План.

 1. Властивості ліній перетину двох паралельних площин третьою площиною

2. Теорема про відрізки паралельних прямих, які містяться між двома паралельними площинами

Форми поточного та підсумкового контролю самостійної роботи:

1.Поточний:

· перевірка конспектів

· усне опитування

·  розв’язування задач.

2.Підсумковий:

· тематична контрольна робота

·  державна підсумкова атестація

Лекційний матеріал до теми

Властивості ліній перетину двох паралельних площин третьою площиною

Теорема1. Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні.

Цю теорему можна сформулювати по-іншому:

Паралельні площини перетинаються січною площиною по паралельних прямих.

Доведемо теорему.

Дано: a || b; γ перетинає a по прямій а; γ перетинає b по прямій b.

Довести: а || b (рис. 5).

Доведення                                                                                            Рис 5                                                                  

Припустимо, що а b. Оскільки а і b лежать в γ, то вони перетинаються в деякій точці А; А Î a, бо a Ì a; А Î b, бо b Ì b. Отже, a і b перетина­ються, що суперечить умові: a || b. Отже, а || b.

Приклад 1. Паралельні площини a і b перетинають сторону АВ кута ВАС відповідно в точках А₁ і А₂, а сторону АС цього кута — відповідно в точках В₁ і В₂. Знайти: а) АА₂ і АB₂, якщо А₁А₂ = 2А₁А, А₁А₂ = 12 см, АВ₁ = 5 см;      б) А₂В₂ і АА₂, якщо А₁В₁ = 18 см, АА₁ = 24 см, АА₂ = А₁А₂.

 (Відповідь, а) АА₂ = 18 см; АВ₂ = 15 см; б) А₂В₂ = 54 см, АА₂ = 72 см.)