Самостійне вивчення з розробкою конспекту та розв’язуванням задач.

План.

1.Формула площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними.

2. Формула площі трикутника за стороною і опущеною до неї висотою.

3.Формула Герона.

4.Формули площ трикутника з використанням радіусів вписаного та описаного навколо трикутника кола.

 

Форми поточного та підсумкового контролю самостійної роботи:

1. Поточний:

· перевірка конспектів

· усне опитування

·  розв’язування задач.

2. Підсумковий:

· тематична контрольна робота

·  державна підсумкова атестація

Лекційний матеріал до теми.

Формула площі трикутника за двома сторонами і кутом між ними.

Теорема. Площа трикутника дорівнює половині добутку двох будь-яких сторін на синус кута між ними.

Доведення

Нехай трикутник ABC — даний (рис. 40).

Доведемо, що S _{Δ ABC} = AB ∙ AC ∙ sin A.

Проведемо у трикутнику ABC висоту BD. Маємо: S _{Δ АВС} =   AC ∙ BD.

Якщо кут А гострий, то із трикутника ABD маємо: BD = AB ∙ sinα (рис.40,а).

Якщо кут А прямий, то із трикутника DAB маємо: BD = AB ∙ sin90° = АВ.

Якщо кут А тупий (рис. 40, б),то BD = AB ∙ sin(180° - α) = AB sinα.

Отже, S _{Δ ABC} = AB ∙ AC ∙ sin A, що і треба було довести.

Приклад 1. Знайдіть площу правильного трикутника зі стороною а.

Розв'язання

Оскільки трикутник ABC рівносторонній (рис. 1), то АВ = АС = ВС = а, A = B = C = 60°.

         

                       Рис 1                                                              Рис 2  

Тоді S = AB ∙ AC ∙ sin A = a ∙ a ∙ sin60° =  ∙  = .

Відповідь. .

Слід запам'ятати цю формулу.

 

Приклад 2. У трикутнику ABC АС = а, ВС = b. При якому куті С площа трикутника буде найбільшою?

Розв'язання

Оскільки S = AC ∙ BC ∙ sin C = ab sin C, то значення S буде найбільшим, якщо sin C = 1, тобто C = 90°, тоді S = ab.

Відповідь. 90°.

 

Приклад3. Знайдіть площу ромба, якщо його висота дорівнює 10 см, а гострий кут становить 30°.

Розв'язання

 

 

Рис 3

Нехай у ромбі ABCD (рис. 3) BF AD, BF = 10 см, BAD = 30°. Із прямокутного трикутника ABF маємо:  (см). Отже, площа ромба: S = AD ∙ BF = 20 ∙ 10 = 200 (см²).

Відповідь. 200 см².

Приклад4. Доведіть, що коли діагоналі чотирикутника перетинаються, то площа чотирикутника дорівнює половині добутку його діа­гоналей на синус кута між ними.

Розв'язання

Нехай ABCD — довільний опуклий чотирикутник (рис. 4).

Доведемо, що S_ABCD = AC ∙ BD ∙ sinφ, де φ = BOC.

S _ABCD = S _{Δ BOC} + S _{Δ AOB} + S _{Δ AOD} + S _{Δ DOC} = BO ∙ OC ∙ sinφ +

+ АО ∙ BO ∙ sin(180° - φ) + АО ∙ DO ∙ sinφ + DO ∙ ОС ∙ sin(180° - φ) =  

= BO ∙ OC sinφ + АО ∙ ВО ∙ sinφ + АО ∙ DO ∙ sinφ + DO ∙ OC sinφ =   

= (BO ∙ OC + AO ∙ BO + AO ∙ DO + DO ∙ OC) sinφ =

= (BO ∙ (AO + OC) + DO ∙ (AO + OC)) sinφ = (BO ∙ АС + D О ∙ АС) sinφ =

= AC ∙ (BO + DO) sinφ = AC ∙ BD sinφ.

             

Рис 4

 

Формула площі трикутника за стороною і опущеною до неї висотою.

         Рис 5              S = ah_a

Формула Герона

Можна знайти площу трикутника, якщо відомі три його сторони. Цю формулу одержав Герон Александрійський, давньогрецький учений, який жив в Александрії в І ст. н. є. Відомо, що він був ученим-інженером, займався геодезією і прикладною математикою.

Проведемо висоту до найбільшої сторони трикутника ABC (рис. 5). Нехай АС = b — найбільша сторона цього трикутника, АВ = с, ВС = а, BD AC. Нехай AD = х, тоді DC = b – х. Із прямокутного трикутника ABD маємо:          BD ² = c ² – x ². Із прямокутного трикутни­ка BCD маємо: BD ² = а ² – (b – x)². Тоді маємо рівняння с ² – х ² = a ² – (b – х)², з якого знай­демо х. с ² – х ² = а ² – b ² + 2 bx – x ²; 2 bx = c ² + b ² – a ²; .

Тоді BD = =  = .

Отже, S = b ∙ В D =  = =

=  = =

=  =  =

= .

Ураховуючи, що , маємо:

S = = .

Що і треба було довести.

 

Приклад 1. Знайдіть площу трикутника за трьома сторонами: 17, 65, 80;

Розв'язання

S =  =

=  =  = 288.

Відповідь. 288кв. од.

Приклад 2. Сторони трикутника дорівнюють а, b, с. Знайдіть висоту трикутника, опущену на сторону с.

Розв'язання

, .

Оскільки S = ch_c, то h_c =   = .

Відповідь. .

Приклад 3. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 64 см, а його бічна сторона на 11 см більша від основи. Знайдіть висоту три­кутника, опущену на бічну сторону.

Розв'язання

Нехай трикутник ABC (рис. 6) рівнобедрений,           АВ = ВС. Нехай АС = х см, тоді АВ = ВС = (х + 11) см. Оскільки периметр дорів­нює 64 см, то маємо:

x + 11 + x + 11 + x = 64; 3 х + 22 = 64; 3 х = 42; х = 14. Отже, АС = 14 см, АВ = ВС = 25 см.

Оскільки = = = 7 ∙ 4 ∙ 6 = 168 (см²), S =  ∙ АВ ∙ h, то h =  =  = = 13,44 (см).                                                                                  Рис 6

Відповідь. 13,44 см.