Задачі, в яких кількість невідомих більша за кількість рівнянь системи.

Серед прикладів, розглянутих у попередніх підрозділах, уже зустрічалися задачі, в яких кількість невідомих у системі рівнянь перевищувала кількість самих рівнянь. Причини, що призводили до такої ситуації, пов’язані зі способом розв’язування задач. Якщо вибирати невідомі для складання рівнянь, керуючись принципом найбільшої зручності математичного запису умов задачі, то величини, яку необхідно знайти, може серед них не бути. Як правило, така величина подається деякою комбінацією введених невідомих, тому може статися, що однозначно визначити всі невідомі із системи рівнянь неможливо, проте шукана комбінація цих невідомих знаходиться однозначно.

Розглянемо кілька прикладів, що ілюструють цей клас задач на складання рівнянь.

Приклад1. Школяр витратив деяку суму грошей на придбання портфеля, авторучки і книги. Якби портфель коштував в 5 разів менше, авторучка — у 2 рази менше, а книга — в 2,5 рази менше, ніж насправді, то та сама покупка коштувала б 8 грн. Якби портфель був у 2 рази дешевшим, авторучка — у 4 рази дешевшою, а книга — в 3 рази дешевшою, те за ту саму покупку школяр заплатив би 12 грн. Скільки коштує вся покупка і за що було сплачено більше: за портфель чи за авторучку?

 

Розв’язування.

Найбільш природно ввести в цій задачі ціну портфеля, авторучки і книги:  і  грн відповідно. Тоді перша і друга умови задачі дають два рівняння:

чи

Таким чином, ми маємо у своєму розпорядженні систему двох рівнянь, в яку входять три невідомих. Зрозуміло, що визначити всі три невідомих однозначно з такої системи не можна. Однак умова задачі і не вимагає цього Необхідно знайти лише вартість усієї покупки, тобто величину   А така комбінація невідомих легко знаходиться з наведеної системи рівнянь.

Справді, коефіцієнти при невідомих у системі такі, що, додав­ши почленно рівняння системи, дістанемо

або

тобто вся покупка коштує 28 грн.

Порівняємо між собою величини х і у. Крім величини  із системи рівнянь знаходимо

або

Оскільки  і  то звідси випливає, що  Отже,  тобто

Відповідь. 28 грн; портфель дорожчий за авторучку.

 

Приклад2. Три пункти А, В і С сполучені прямолінійними дорогами (див. рисунок). До відрізка дороги АВ примикає квадратне поле зі стороною, що дорівнює  до відрізка дороги  примикає квадратне поле зі стороною, що дорівнює , а до відрізка дороги  примикає прямокутна ділянка лісу довжиною  і шириною 4 км. Площа лісу на 20 км² більша від суми площ квадратних полів. Знайти площу лісу.

Рис.

Розв’язування.

Нехай . Тоді, виходячи з умов задачі, можна скласти тільки одне рівняння:

або

                       (1)

Таким чином, маємо одне рівняння з трьома невідомими. Розв’язок задачі можна знайти, якщо врахувати, що  — це сторони трикутника, які задовольняють відомі геометричні нерівності:

а)

б)                            (2)

в)

Ці нерівності дають необхідні і достатні умови, при яких три відрізки  і  утворюють трикутник; у разі перетворення однієї з нерівностей на рівність трикутник вироджується у відрізок прямої.

Підставляючи вираза для  з (1) у (2), дістаємо нерівність

яку можна переписати в такому вигляді:

(Тут щодо змінних х і у було використано перетворення, яке називається виділенням повного квадрата.)

Оскільки сума двох невід’ємних доданків не може бути меншою за нуль, те останні нерівності виконуються тільки в тому випадку, якщо

 і

Це і є ті додаткові рівняння задачі, що дозволяють визначити розв’язок. Знаходимо

Оскільки  то стає зрозумілим, що пункти  і   знаходяться на одній прямій. Площа лісу, яка дорівнює 4 z км², становить 40 км². Звичайно, таку задачу можна розв’язати тільки при спеціальному доборі числових даних.

№1. У посудину місткістю 6 л налито 4 л 70 %-го розчину сірчаної кислоти. У другу сосудину тієї самої місткості налито 3 л 90 %-го розчину сірчаної кислоти. Скільки літрів розчину потріб­но перелити з другої посудини в першу, щоб у ній утворився r %-й розчин сірчаної кислоти? Знайти всі r, при яких задача має розв’язок.

Відповідь.

№2.Суміш рівних об’ємів двох речовин має масу г. Маса другої речовини в суміші дорівнює масі 52/7 см³ першої речовини, а густина другої речовини дорівнює 1 г/см³. Знайти об’єм кож­ної речовини в суміші.

Відповідь. 4 см³.

 

№3. З міста А до міста В виїжджає велосипедист, а через 3 год після його виїзду з міста В назустріч йому виїжджає мотоцикліст, швидкість якого в три рази більша, ніж швидкість велосипедиста. Велосипедист і мотоцикліст зустрічаються посередині між А і В. Якби мотоцикліст виїхав не через 3, а через 2 год. після велосипедиста, то зустріч відбулася б на 15 км ближче до А. Знайти відстань між містами А і В.

Відповідь. 180 км.

 

№4. Перша і друга бригади одночасно почали виконувати деяку роботу. Більш ніж через годину після початку роботи першу бригаду перемінила третя, котра разом із другою працювала до завер­шення всієї роботи. На виконання роботи зазначеним способом пішло 5,5 год. Перша бригада за весь час, поки вона працювала, зробила стільки, скільки третя робить за годину. Якби перша бригада пропрацювала на 6 год більше, ніж це було насправді, то вона зробила б стільки ж, скільки було зроблено другою бригадою. Якби три бригади увесь час працювали разом, то робота була б виконана в 1,5 рази швидше, ніж у дійсності. Скільки часу працювала перша бригада?

Відповідь: 2,5 год.

 

№5. Дві труби, діючи разом протягом 1 год, наповняють водою 3/4 басейну. Якщо спочатку перша труба наповнить 1/4 частину басейну, а потім друга при відімкненій першій доведе об’єм води до 3/4 басейну, то на це знадобиться 2,5 год. Якщо першу трубу включити на 1 год, а другу — на півгодини, то вони наповнять басейн більш ніж наполовину. За який час наповняє басейн кожна труба?

Відповідь: 2 год і 4 год.

 

№6. Троє робітників повинні виготовити 80 однакових деталей. Відомо, що всі троє разом виготовляють за годину 20 деталей. До роботи приступив спочатку перший робітник. Він виготовив 20 деталей, затративши на це більше трьох годин. Частину роботи, що залишилася, виконали разом другий і третій робітники. На всю роботу пішло 8 год. Скільки годин потрібно було б першому робітнику на всю роботу, якби він виконував її сам?

Відповідь. 16 год.

 

№7. Господарство має у своєму розпорядженні трактори чотирьох марок А, Б, В и Г. Бригада з чотирьох тракторів (два трактори марки Б і по одному трактору марок В і Г) виорює поле за два дні. Бригада з двох тракторів марки А і одного трактора марки В витрачає на цю роботу три дні, а три трактори марок А, Б і В — чотири дні. За скільки часів виконає роботу бригада, складена з чотирьох тракторів різних марок?

Відповідь.   дня.

 

№8. З пункту А по одному шосе виїжджають одночасно два автомобілі, а через годину слідом за ними виїжджає третій. Ще через годину відстань між третім і першим автомобілями зменшилася в півтора рази, а між третім і другим — у два рази. Швидкість якого автомобіля — першого чи другого — більша і в скільки разів, коли відомо, що третій автомобіль не обганяв перших двох?

Відповідь. Швидкість першого автомобіля в 9/8 рази більша, ніж другого.

 

Тема 5. Вектори і координати.