П.1.Розв’язування задач, що приводять до розв ’ язування рівнянь та систем рівнянь

Література:

1.Валєєв К. Г., Джалладова І. А. В 15 Елементарна математика для студентів, слухачів ПО, абітурієн­тів: Навч. посіб. — К.: КНЕУ, 2006.

Методичні вказівки:

Задачі на складання рівнянь становлять розділ математики, що традиційно пропонується на вступних іспитах з математики. Під час розв’язування цих задач розвивається логічне мислення, формуються дослідницькі навички, а також уміння виконувати складні перетворення, що виникають у процесі розв’язу­вання відповідних систем рівнянь та нерівностей.

Текстові задачі умовно можна поділити на такі головні види:

1) хімічні задачі;

2) задачі на рух;

3) задачі на числа;

4) задачі на відсотки;

5) задачі на роботу;

6) нестандартні задачі.

Студенти повинні вміти:

Розв’язувати задачі на складання рівняь та їх систем (хімічні задачі, задачі на рух, задачі, в яких кількість невідомих більша за кількість рівнянь системи)

 

Питання для самоконтролю:

1. Хімічні задачі. Основні ідеї розв’язування

2. Задачі на рух. Основні ідеї розв’язування

3. Задачі, в яких кількість невідомих більша за кількість рівнянь системи. Основні ідеї розв’язування

Самостійне вивчення з розв’язуванням задач.

 

Форми поточного та підсумкового контролю самостійної роботи:

1. Поточний:

· усне опитування

·  розв’язування задач.

2. Підсумковий:

· тематична контрольна робота

·  державна підсумкова атестація

Лекційний матеріал до теми.

 

Ми розглянемо лише деякі з основних видів задач [3, 5, 10].

Хімічні задачі

Розглядаючи задачі на складання рівнянь, спинимося насамперед на тих, які стосуються понять «концентрація» і «процентний вміст». Зазвичай в умовах таких задач ідеться про утворення сплавів або розчинних сумішей двох чи кількох речовин.

Зазначені задачі розв’язують за таких основних припущень:

а) усі утворювані сплави чи суміші однорідні;

б) при злитті двох розчинів об’ємом  і  утворюється суміш, об’єм  якої дорівнює :

Зауважимо, що останнє співвідношення є саме припущенням, оскільки не завжди виконується в дійсності; при злитті двох розчинів не об’єм, а маса суміші дорівнює сумі мас відповідних складових.

Розглянемо для визначеності суміш трьох компонентів   і   Обсяг суміші  складається з обсягів чистих компонентів:

При цьому відношення

показують, яку частку повного об’єму суміші становлять об’єми окремих компонентів:

Відношення об’єму  чистого компонента в розчині до всього об’єму  суміші

називається об’ємною концентрацією цього компонента.

Об’ємна концентрація — безрозмірна величина. Сума концентрацій усіх компонентів, що утворюють суміш, дорівнює одиниці:

Тому для того, аби структуру розчину, що складається з   компонентів, було визначено, достатньо знати концентрацію -го компонента.

Якщо відомі концентрації  і   компонентів, що утворюють дану суміш, то її об’єм можна поділити на об’єми окремих компонентів (рис. 1):

                  (1)

Рис. 1

Об’ємним процентним умістом компонента А називається величина

тобто концентрація цієї речовини, виражена у відсотках.

Якщо відомий процентний уміст речовини А, то її концентрацію визначають за формулою:

Наприклад, якщо процентний уміст становить 70 %, то відповідна концентрація дорівнює 0,7. Процентному вмісту 10 % відповідає концентрація 0,1.

Так само (як відношення маси чистої речовини А у сплаві до маси всього сплаву)визначають і масову концентрація та процент­ний уміст. Про яку концентрацію — об’ємну чи масову — йдеться в конкретній задачі, завжди зрозуміло з її умови.

Існує порівняно небагато задач, в яких доводиться перераховувати об’ємну концентрацію на масову чи навпаки. Для того щоб це зробити, необхідно знати густину компонентів, що утворюють розчин чи сплав. Розглянемо, наприклад, двокомпонентну суміш з об’ємними концентраціями компонентів  і   і густиною компонентів, що дорівнює відповідно  і  Масу суміші можна знайти за формулою

де  і  — об’єми компонентів суміші. Масові концентрації компонентів подаються залежностями:

які визначають зв’язок цих величин з об’ємними концентраціями.

Як правило, в умовах задач розглядуваного типу повторюється одна й та сама конструкція: із двох чи кількох сумішей, що складаються з компонентів  утворюється нова суміш шляхом перемішування вихідних сумішей, узятих у певній пропорції. При цьому потрібно знайти, в якому відношенні компоненти  увійдуть у суміш, що вийшла.

Під час розв’язання таких задач зручно розглядами об’єм чи масу кожної суміші, а також концентрації їхніх компонентів  Відповідно до концентрацій потрібно «розщепити» кожну суміш на окремі компоненти, як це зроблено у формулі (1), а далі згідно з умовою задачі скласти нову суміш. При цьому легко підрахувати, який об’єм (яка маса) кожного компонента входить у суміш, що вийшла, а також повний об’єм (повну масу) цієї суміші. Після цього визначаються концентрації компонентів  у новій суміші.

Проілюструємо сказане вище на прикладі наступної задачі.

Приклад 1. Маємо два куски сплаву міді і цинку з масовим процент­ ним вмістом міді відповідно р % і q %. В якому відношенні потрібно взяти ці сплави, щоб, переплавивши взяті куски разом, одержати сплав, що містить r % міді?

Розв’язування.

Побудуємо схему, що унаочнює умову задачі (рис. 2). Концентрація міді в першому сплаві дорівнює р /100, у другому — q /100.

 

Рис. 2

Якщо першого сплаву взяти х кг, а другого у кг, то за допомогою масових концентрацій можна «розщепити» ці величини на окремі складові:

 (кг міді) +  (кг цинку);

 (кг міді) +  (кг цинку).

Маса, кг, міді в утвореному сплаві така:

,

а маса цього сплаву становитиме  кг. Звідси знаходимо нову концентрацію міді в сплаві:

За умовою задачі ця концентрація має дорівнювати r /100. Тому дістаємо рівняння

або

Розв’яжемо здобуте рівняння. Насамперед зазначимо, що рівняння містить дві невідомі х і у. Неважко зрозуміти, що обидві невідомі однозначно не визначаються. Концентрація утворюваного сплаву визначається не масою взятих кусків, а відношенням цих мас. Тому в задачі потрібно визначити не самі значення х та у, а тільки їх відношення.

Запишемо рівняння задачі в такому вигляді:

Розглянемо можливі випадки.

1. p = r = q.

У цьому випадку концентрації всіх сплавів однакові і рівняння показує, що існує нескінченна множина розв’язків. Можна взяти скільки завгодно першого сплаву і скільки завгодно другого сплаву.

2. p = r ¹ q.

У цьому випадку рівняння набирає вигляду

звідки знаходимо: х — будь-яке, у = 0.Фізичний зміст цього розв’язку зрозумілий: якщо концентрація сплаву, який потрібно одержати, збігається з концентрацією першого сплаву, але не дорівнює концентрації другого сплаву, то першого сплаву можна взяти скільки завгодно, а другого сплаву не брати зовсім.

3. p ¹ r = q.

Дістаємо рівняння

звідки знаходимо: у — будь-яке, х = 0.

4. р ¹ м, р ¹ q, q ¹ r.

У цьому випадку можна записати:

Оскільки у ¹0, то

Це значення буде розв’язок задачі, якщо виконується нерівність

Неважко показати, що ця нерівність справджується, якщо значення r міститься між значеннями р та q. Таким чином, якщо р ¹ q,то можна одержати сплав із будь-яким процентним вмістом міді між р і q.

Незважаючи на те, що цей приклад дуже простий, він доволі добре ілюструє основний метод розв’язування задач, пов’язаних із сумішами.

Розглянемо ще одну задачу.

 

Якщо в посудині об’єму V ₀, містить р % розчин солі. Із посудини виливається а п суміші і додається а л води. Ця процедура повторюється п разів. Тоді концентрація солі в розчині після п переливань визначається формулою:

                     (2)

 

Приклад 2. У посудині об’ємом V ₀ міститься а л солі. Значення a/V ₀ відоме. Після скількох переливань концентрація солі в розчині зменшиться більш ніж у k раз?

Розв’язування.

 

Використовуючи формулу (2) для концентрації солі в розчині після п переливань, дістаємо

Звідси знаходимо

Найменша кількість таких переливань дорівнює . ×

 

Приклад 3. Відомо, що після п переливань концентрація солі в розчині зменшилася в k раз. Визначити, яку частину об’єму посудини становлять а л.

Розв’язування.

 

Відповідно до формули (2), якою подається концентрація солі в розчині після п переливань, маємо

або

Звідси знаходимо шукане відношення:

 ×

Зауваження. Формула (2) пов’язана з правилом нарахування «складних відсотків».

Про «складні відсотки» говорять у тому разі, коли значення деякої величини поетапно змінюється, причому на кожному етапі зміна становить певну кількість відсотків від значення, що його ця величина мала на попередньому етапі.

Розглянемо спочатку випадок, коли наприкінці кожного етапу значення величини змінюється на ту саму сталу кількість р від-
сотків.

Деяка величина А, вихідне значення якої дорівнює А ₀, наприкінці першого етапу матиме значення

Наприкінці другого етапу її значення становитиме

Тут множник  показує, у скільки разів значення величини збільшилося за один етап. У попередніх задачах про концен­трації цю роль відігравав множник

Наприкінці третього етапу

і т. д.

Неважко зрозуміти, що наприкінці п -го етапу значення величини А подається формулою:

                    (3)

Ця формула показує, що значення величини А зростає (або спадає, якщо р < 0) як геометрична прогресія, перший член якої А ₀, а знаменник дорівнює

Приклад 4. Ощадкаса виплачує 3 % річних. Через скільки років внесена сума подвоїться?

Розв’язування.

 

Нехай внесок становить А ₀грн. Тоді через п років на цьому рахунку буде 2 А ₀ грн. Маємо:

Відповідь. Через 23 роки.

 

 

Задачі на рух.

Розглянемо задачі на складання рівнянь, які умовно можна назвати задачами на рух. Система рівнянь, яку необхідно скласти на підставі умови кожної з таких задач, містить зазвичай параметри руху: пройдену відстань (S), швидкості тіл, що рухаються, (u, v, w), час руху (t).

Зауважимо, що позначення тих чи інших невідомих прийнятими для них у фізиці буквами зосереджує увагу на суті задачі, робить систему рівнянь більш зрозумілою для розв’язування задачі, виключає випадкові помилки, що можуть виникати через безликість введених позначень.

Припущення, що звичайно приймаються (якщо не зроблено іншого застереження) в умовах задач на рух, полягають ось у чому:

а) рух на окремих ділянках вважається рівномірним; при цьому пройдений шлях визначається за формулою

б) повороти тіл, що рухаються, вважаються миттєвими, тобто відбуваються без витрат часу; швидкість при цьому також змінюється миттєво;

в) якщо тіло рухається за течією ріки, то його швидкість w складається зі швидкості в стоячій воді v і швидкості течії ріки u:

а якщо проти течії ріки, то його швидкість дорівнює

Якщо в умові задачі мова йде про рух плотів, то це означає, що тіло рухається зі швидкістю течії ріки.

До задач на рух належать також задачі, в яких хтось виконує деяку роботу; задачі, пов’язані з наповненням і спорожнюванням резервуарів. У задачах такого типу робота чи об’єм резервуара відіграє роль відстані, а продуктивність об’єктів, що виконують роботу, аналогічні швидкостям руху.

У задачах на рух особливо корисно будувати ілюстративний рисунок, фіксуючи всі характерні моменти — зустрічі, зупинок і поворотів. Вдалий рисунок допомагає зрозуміти зміст задачі, усвідомити зв’язок між даними та невідомими. Приклади таких креслень наведено далі.

При розв’язуванні задач на рух доводиться розглядати такі дві ситуації:

а) рух двох точок назустріч одне одному (рис. 1); якщо початкова відстань між двома точками, що рухаються назустріч одна одній зі швидкостями  і   дорівнює  то час, через який вони зустрінуться, дорівнює

Рис. 1

б) рух в одному напрямі (рис. 2); якщо початкова відстань між двома точками, з яких одна наздоганяє іншу, дорівнює  той час, через який друга точка (швидкість ) дожене першу (швидкість ), дорівнює

Рис. 2

Розглянемо тепер методику складання рівнянь по тексту задачі. Зробимо це на конкретних прикладах.

Приклад 1.  Міста А і В розташовані на березі річки, причому місто В розташоване нижче за течією. О 10-й годині ранку з міста А до міста В відпливає пліт і одночасно з міста В до міста А відпливає човен, який зустрічається з плотом через 5 годин. Допливши до міста А, човен повертає у зворотному напрямі і припливає одночасно з плотом. Чи встигне човен або пліт прибути до міста В о 10 годині вечора (того самого дня)?

Розв’язування

За умовою задачі будуємо рис. 3.

 

Рис. 3

Виділимо з умови задачі речення, математичний запис яких утворить рівняння. Їх два:

· човен і пліт відправляються одночасно і зустрічаються через 5 годин;

· човен повертається в місто В одночасно з плотом.

Для математичного запису цих речень потрібно з’ясувати, які невідомі потрібно розглянути. В основу вибору невідомих можна покласти простий принцип: невідомі варто вводити так, щоб за їх допомогою найлегше записати у вигляді рівнянь наявні в задачі умови. При цьому зовсім не обов’язково, щоб величина, яку потрібно визначити, фігурувала серед невідомих.

Наприклад, у розглядуваній задачі такі параметри, як відстань між містами s, швидкість течії ріки (і плоту) u і швидкість човна в стоячій воді v, дають змогу дуже просто записати всі наявні умови (див. таблицю).

 

Умова задачі	Рівняння
Човен і пліт відправляються одночасно і зустрічаються через 5 год
Човен повертається в В одночасно з плотом

 

В останньому рівнянні співвідношення   являє собою час руху плоту,  — час руху човна проти течії,  — час руху човна вниз за течією ріки.

Таким чином, маємо систему двох рівнянь із трьома невідомими. Ясно, що всі три невідомих s, u і v з цієї системи двох рівнянь однозначно знайти не можна. Тому звернемося ще раз до умови задачі. Що ж потрібно визначити? У задачі запитується, чи встигне човен або пліт прибути в місто В до 10 год вечора, тобто більший чи менший за 12 год час руху човна. Оскільки цей час дорівнює s/u, то з’ясовується, що потрібно визначити не самі невідомі s і u, а тільки їх відношення, величину s / u.

Систему рівнянь задачі можна записати в такому вигляді

або

Таким чином, ця система фактично містить тільки два невідомих: s/v і u/v.

З другого рівняння визначається значення співвідношення u / v. Воно дорівнює  Таким чином, маємо

Після цього відразу визначається співвідношення

Виходить, човен і пліт не встигнуть приплисти в пункт В до 10 год вечора того ж дня.

Зауваження. 1. Умова цієї задачі не містить величин, що мають розмірність довжини. Тому тут можна було б позначити відстань між містами через 1. Фактично це означало б, що відстань між містами взято за одиницю вимірювання довжини. Тоді з першого рівняння знаходимо швидкість руху човна і потім час руху

2.Розгляд цих двох прикладів показує, у чому полягає методика складання рівнянь за текстом задачі. Її сутність у тому, щоб виділити в тексті задачі ті речення, що пов’язують між собою параметри руху. Після введення невідомих за принципом найбільшої зручності запису відповідних зв’язків виходять рівняння, що визначають розв’язок задачі.

Як останній приклад в цьому підрозділі розглянемо задачу на виконання роботи. Як уже зазначалося, такі задачі з повним правом можна прирахувати до задач на рух.

Приклад 2. Дві машини, що риють тунель назустріч одна одній, закінчили його проходження за 60 днів. Якщо перша машина працювала б 18 днів, а друга 16 днів, то разом вони пройшли б 60 м тунелю. Якщо перша машина виконала б 2/3 всієї роботи другої машини з проходження тунелю, а друга 0,3 всієї роботи першої машини, то першій знадобилося б для цього на 6 днів більше, ніж другій. Скільки метрів тунелю в день проходить кожна машина?

Розв’язування

Введемо, за аналогією до швидкостей у задачах на рух, продуктивності машин  (м/день) і  (м/день). Тоді всю роботу — довжину тунелю — можна розглядати як аналог відстані в задачі на рух. При цьому вона визначається сумою

Тут  — обсяг роботи, виконаної першою машиною, а  — обсяг роботи, виконаної другою машиною.

Складемо рівняння задачі, користуючись таблицею:

 

Умова задачі	Рівняння
Якщо б перша машина працювала 18 днів, а друга — 16 днів, то було б пройдено 60 м тунелю
Якщо б перша машина виконала 2/3 всієї роботи другої машини, а друга — 0,3 всієї роботи першої машини, то першій знадобилось би для цього на 6 днів більше, ніж другій

Після спрощень система рівнянь набере вигляду

Цю систему зручніше за все розв’язати, якщо записати друге рівняння у вигляді квадратного рівняння для відношення продуктивностей

З двох розв’язків цього рівняння беремо додатний:

 тобто

Використовуючи цей результат разом з першим рівнянням системи, знаходимо

 м/день;  м/день.

Для тих, хто хоче знати більше