Міністерство аграрної політики і продовольства  україни

МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ І ПРОДОВОЛЬСТВА  УКРАЇНИ

МОГИЛІВ - ПОДІЛЬСЬКИЙ ТЕХНОЛОГО – ЕКОНОМІЧНИЙ КОЛЕДЖ

ВІННИЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО АГРАРНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

МАТЕМАТИКА

НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНИЙ КОМПЛЕКС

ДЛЯ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

                          

2011

 

Зміст

 

1. Вступ……………………………………………………………………………………………….3                                   

2. Програма самостійної роботи з дисципліни „Математика”……………………………………5

        Тема1.Функції, їх властивості і графіки.

3. Тема 1.1. Поняття функціональної залежності, числова функція………………………………...9

4. Тема 1.2. Неперервність функцій. Типи розривів числових функцій…………………………...15     

        Тема 2. Степенева, показникова і логарифмічна функції.

5. Тема 2.3. Логарифмування та потенціювання виразів…………………………………………..20

        Тема 3. Тригонометричні функції                                                                                                       

6. Тема 3.1. Формули половинного аргументу, формули потрійного аргументу………………..23

        Тема 4. Рівняння, нерівності та їхні системи.

7. Тема 4.1. Розв’язування задач, що приводять до розв’язування рівнянь та систем рівнянь…26

        Тема 5. Вектори і координати

8. Тема 5.1. Вектори в просторі. Дії над векторами. Розклад вектора на складові………………43

          Тема 6. Систематизація та узагальнення методів планіметрії

9. Тема 6.2. Різні формули площ трикутників………………………………………………………49

       Тема 7. Паралельність та перпендикулярність прямих і площин в     

                     просторі

10. Тема 7.1. Ознака паралельності двох прямих в просторі……………………………………….56

11. Тема 7.2. Теореми про паралельні площини……………………………………………………..58

12. Тема 7.3. Ознака перпендикулярності двох прямих в просторі………………………………..63

        Тема 8. Похідна та її застосування.

13. Тема 8.1. Друга похідна функції та її механічний зміст…………………………………………67

14. Тема 8.2. Дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної…………………69

        Тема 9. Інтеграл та його застосування

15. Тема 9.1. Правила знаходження первісної.  Фізичні застосуванні первісної…………………..72

16. Тема 9.2. Поняття криволінійної трапеції……………………………………………..76

17. Тема 9.3. Застосування визначеного інтегралу в економіці, техніці, фізиці……………….80

18. Тема 9.4. Рівняння гармонійних коливань………………………………………………………..83

         Тема 10. Многогранники. Об’ єми та площі поверхонь многогранників

19. Тема 10.1. Вимірювання відстаней у просторі. Вимірювання кутів у просторі.

                     Двогранний кут………………………………………………………………………….85

         Тема 11. Тіла обертання. Об’єми та площі поверхонь тіл обертання

20 Тема 11.2. Розв’язування задач на комбінацію тіл………………………………………………...91

         Тема 12. Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики

21. Тема 12.1. Розв’язування комбінаторних задач…………………………………………97

        Тема 13. Повторення, узагальнення та систематизація навчального

                        матеріалу, розв’язування задач.

22. Тема 13.1. Арифметична та геометрична прогресії………………………………………………102

23.Література…………………………………………………………………………………………...111  

24.Висновки…………………………………………………………………………………………….113

 

 

 

Тема 1. Функції, їх властивості і графіки.

Самостійне вивчення з розробкою конспекту та розв’язуванням задач.

План.

1. Історія виникнення поняття функції.

2. Поняття функціональної залежності.

3. Числова функція. Область визначення функції.

4. Способи задання функції

Форми поточного та підсумкового контролю самостійної роботи:

1. Поточний:

· перевірка конспектів

· усне опитування

·  розв’язування задач.

2. Підсумковий:

· тематична контрольна робота

·  державна підсумкова атестація

Лекційний матеріал до теми.

Способи задання функції

Функцію можна задати за допомогою таблиці, графіка, фор­мули.   

Найчастіше функцію задають за допомогою формули. При цьому якщо не дано додаткових обмежень, то областю визначення функції, заданої формулою, вважають множину всіх значень змінної, при яких ця формула має сенс.

Наприклад, я кщо кожному значенню х із множини дійсних чисел поставити у відповідність квадрат цього числа, то-функ­цію можна записати у вигляді формули: у = х² або f (x)= x ².

Функцію також можна задати за допомогою таблиці.

Розглянемо приклад. Результати вимірювання температури тіла хворого в залежності від часу подано в таблиці:

Час доби х (год)	9	12	15	18	21	24
Температура тіла y = f (x) (С°)	39	38,5	38,3	37,3	37,1	37

 

Залежність у·= f (x) є функцією, х — незалежна змінна, у — залежна змінна.

f (9) = 39, f (12) = 38.5,..., f (24) = 37.

D(f) = {9;12;15; 18; 21; 24}.

E(f) = {39; 38,5; 38,3; 37,3; 37,1; 37}.

Наприклад, я кщо кожному значенню х із множини дійсних чисел поставити у відповідність квадрат цього числа, то-функ­цію можна записати у вигляді формули: у = х² або f (x)= x ².

Областю визначення функції у = f (x), яка задана формулою, називається множина тих значень, які може приймати х, тобто формула має зміст (усі дії, вказані формулою, можна виконати).

Наприклад, формула  має сенс при всіх , тому областю визначення функції  вважають множину всіх дійсних чисел, що не дорів­нюють нулю. Область її значень збігається з областю визначення і є об’єднанням інтервалів (–∞; 0) і (0; ∞).

Отже, для функції

 При знаходженні області визначення слід пам'ятати:

2) Якщо функція є многочленом у = а _n х ⁿ + α _{n -1} x^{n -1} +... + α ₁ x + a₀,

то D (y) = (- ; + ) = R.

2) Якщо функція має вигляд у =  , де f (x) і g (x) — многочлени, то слід вважати g (x) 0 (знаменник дробу не дорів­нює 0).

3) Якщо функція має вигляд у =  , то слід вважати f (x) > 0 (арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємних чисел).

Приклад. Знайдемо область визначення дробово-раціо­нальної функції

Розв’язування.

Корені многочлена  — числа 0, 1 і 2. Тому
D (f) = (–∞; 0)  (0; 1)  (1; 2)  (2; ∞).

 

Графіком функції f називають множину всіх точок (x; y) координатної площини, де y = f (x), а x пробігає всю область визначення функції f.

Підмножина координатної площини є графіком будь-якої фун­кції, якщо вона має не більш як одну спільну точку з будь-якої прямої, паралельної осі Oy. Наприклад, множина, зображена на рис. 1, не є графіком функції, оскільки вона містить дві точки з однією і тією самою абсцисою a, але різними ординатами b ₁ і b ₂. Якби ми розглядали цю множину як графік функції, то довелося б вважати, що ця функція має при x = a відразу два значення b ₁ і b ₂, що суперечить означенню функції.

Часто функцію задають графічно. При цьому для будь-якого x₀
з області визначення легко знайти відповідне значення y ₀ = f (x ₀)функції (рис. 2).

                               

 

 

№1. Знайдіть значення функції:

  a) f (x) =  у точках 1; -1; 5;    б) f (x) =  у точках 3; 12; 52.

 

Відповідь: а) f (1) = 2, f (-1) = 0; f (5) = 1,2;

б) f (3) = 0; f (12) = 3; f (52) = 7

 

№2. Функцію задано формулою у = x ² на області визначення D = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}. Задайте її за до­помогою:

а)таблиці;   б)графіка.

Відповідь:

a)	x	-3	-2	-1	0	1	2	3
	y	9	4	1	0	1	4	9

б) рис. 1

 

 

№3. Знайдіть область визначення функції:

а) у = х² + х³; б)  ; в) ; д) ; є) .

Відповідь:

a) D(y) = R;  б) D(y) = (- ; 3)  (3; + ); в) D (y) = (- ;-2)  (-2;0)  (0;+ );

г) D(y) = (- ; -3)  (-3; 3)  (3; + ); д) D (y) = (- ;l)  (l;4)  (4;+ );

є)   D (y) = [-6; + ).

№4. Знайдіть область значень функції: а) у =    ; б) у =  -1.

Відповідь: а) Е(у) = [2; + ); б) Е(у) = [1; + ).

 

№5. Для функцій, графіки яких зображено на рис.2, вкажіть D (y) і Е(у).

 

 

 

 

 

Рис. 2

Відповідь:

а) D(у) = [-1;1]; Е(у) = [0;1]; б) D(y) = [-1;1]; E(y) = [-2;2];

в) D (y) = (-1;1); E(у) = R; г) D(y) = R; Е(у) = (-1;1).

6. Які із ліній, зображених на рисунку 3, є графіком функції? Чому?

Відповідь: а); в).        

Логарифмування виразів

Логарифмом числа b при основі а називається степінь, до якого потрібно піднести основу а, щоб дістати число b:

Звичайно вважають, що

Основна логарифмічна тотожність:

 При виконанні перетворень виразів, які містять логарифми, при обчисленнях і при розв'язуванні рівнянь, нерівностей часто використовуються властивості логарифмів.

Для будь-яких а > 0, а ≠ 1 і будь-яких додатних х і у виконуються рівності:

l. log а l = 0; 2. log а a = 1; 3. log а xy = log а x + log а y; 4. log а  = log а x – log а y; 5. log а х ^р = p log а x (р   R); 6.   =  loga x (p  R); 7. loga x =  (b > 0, b ≠ 1).

 Дія знаходження логарифма числа (виразу) називається лога­рифмуванням.

Приклад1.  Прологарифмувати  вираз у = .

Розв'язання

lg y = lg = lg (a ² b ² ) – lg c ³ = lg a ² + lg b ² – lg c ³ = 2 lga + 2 lg b – 3 lg c.

 

Потенціювання виразів.

Дія, обернена до логарифмування, називається потенціюванням.

Потенціювання — знаходження числа (виразу) за його лога­рифмом.                          

Приклад2. Пропотенціюйте вираз lg х =   lg 5 а – 3 lg b + 4 lg c.

Розв'язання

lg x =   lg 5 a – 3 lg b + 4 lg c;             lg x = lg  – lg b ³ + lg c ⁴;

lg x = lg  – lg b ³ + lg c⁴; lg x = lg (  · с⁴) – lg b ³;

lg x = lg ; x = .

 

№1.Прологарифмувати вираз (a > 0, b > 0):

1) за основою 7: 7 a ³ ;   2) за основою 10:    .

№2. Знайти х:

1) log₁₅ x = log₁₅25 – log₁₅9;

2) log₅ x = 21og₅ 5 + log₅ 36 – log₅125.

 

№3. Прологарифмувати вираз (а > 0, b > 0):

1) за основою 2: 16 a ⁶ ; 2) за основою 10:

 

 

Тема 3. Тригонометричні функції.

Хімічні задачі

Розглядаючи задачі на складання рівнянь, спинимося насамперед на тих, які стосуються понять «концентрація» і «процентний вміст». Зазвичай в умовах таких задач ідеться про утворення сплавів або розчинних сумішей двох чи кількох речовин.

Зазначені задачі розв’язують за таких основних припущень:

а) усі утворювані сплави чи суміші однорідні;

б) при злитті двох розчинів об’ємом  і  утворюється суміш, об’єм  якої дорівнює :

Зауважимо, що останнє співвідношення є саме припущенням, оскільки не завжди виконується в дійсності; при злитті двох розчинів не об’єм, а маса суміші дорівнює сумі мас відповідних складових.

Розглянемо для визначеності суміш трьох компонентів   і   Обсяг суміші  складається з обсягів чистих компонентів:

При цьому відношення

показують, яку частку повного об’єму суміші становлять об’єми окремих компонентів:

Відношення об’єму  чистого компонента в розчині до всього об’єму  суміші

називається об’ємною концентрацією цього компонента.

Об’ємна концентрація — безрозмірна величина. Сума концентрацій усіх компонентів, що утворюють суміш, дорівнює одиниці:

Тому для того, аби структуру розчину, що складається з   компонентів, було визначено, достатньо знати концентрацію -го компонента.

Якщо відомі концентрації  і   компонентів, що утворюють дану суміш, то її об’єм можна поділити на об’єми окремих компонентів (рис. 1):

                  (1)

Рис. 1

Об’ємним процентним умістом компонента А називається величина

тобто концентрація цієї речовини, виражена у відсотках.

Якщо відомий процентний уміст речовини А, то її концентрацію визначають за формулою:

Наприклад, якщо процентний уміст становить 70 %, то відповідна концентрація дорівнює 0,7. Процентному вмісту 10 % відповідає концентрація 0,1.

Так само (як відношення маси чистої речовини А у сплаві до маси всього сплаву)визначають і масову концентрація та процент­ний уміст. Про яку концентрацію — об’ємну чи масову — йдеться в конкретній задачі, завжди зрозуміло з її умови.

Існує порівняно небагато задач, в яких доводиться перераховувати об’ємну концентрацію на масову чи навпаки. Для того щоб це зробити, необхідно знати густину компонентів, що утворюють розчин чи сплав. Розглянемо, наприклад, двокомпонентну суміш з об’ємними концентраціями компонентів  і   і густиною компонентів, що дорівнює відповідно  і  Масу суміші можна знайти за формулою

де  і  — об’єми компонентів суміші. Масові концентрації компонентів подаються залежностями:

які визначають зв’язок цих величин з об’ємними концентраціями.

Як правило, в умовах задач розглядуваного типу повторюється одна й та сама конструкція: із двох чи кількох сумішей, що складаються з компонентів  утворюється нова суміш шляхом перемішування вихідних сумішей, узятих у певній пропорції. При цьому потрібно знайти, в якому відношенні компоненти  увійдуть у суміш, що вийшла.

Під час розв’язання таких задач зручно розглядами об’єм чи масу кожної суміші, а також концентрації їхніх компонентів  Відповідно до концентрацій потрібно «розщепити» кожну суміш на окремі компоненти, як це зроблено у формулі (1), а далі згідно з умовою задачі скласти нову суміш. При цьому легко підрахувати, який об’єм (яка маса) кожного компонента входить у суміш, що вийшла, а також повний об’єм (повну масу) цієї суміші. Після цього визначаються концентрації компонентів  у новій суміші.

Проілюструємо сказане вище на прикладі наступної задачі.

Приклад 1. Маємо два куски сплаву міді і цинку з масовим процент­ ним вмістом міді відповідно р % і q %. В якому відношенні потрібно взяти ці сплави, щоб, переплавивши взяті куски разом, одержати сплав, що містить r % міді?

Розв’язування.

Побудуємо схему, що унаочнює умову задачі (рис. 2). Концентрація міді в першому сплаві дорівнює р /100, у другому — q /100.

 

Рис. 2

Якщо першого сплаву взяти х кг, а другого у кг, то за допомогою масових концентрацій можна «розщепити» ці величини на окремі складові:

 (кг міді) +  (кг цинку);

 (кг міді) +  (кг цинку).

Маса, кг, міді в утвореному сплаві така:

,

а маса цього сплаву становитиме  кг. Звідси знаходимо нову концентрацію міді в сплаві:

За умовою задачі ця концентрація має дорівнювати r /100. Тому дістаємо рівняння

або

Розв’яжемо здобуте рівняння. Насамперед зазначимо, що рівняння містить дві невідомі х і у. Неважко зрозуміти, що обидві невідомі однозначно не визначаються. Концентрація утворюваного сплаву визначається не масою взятих кусків, а відношенням цих мас. Тому в задачі потрібно визначити не самі значення х та у, а тільки їх відношення.

Запишемо рівняння задачі в такому вигляді:

Розглянемо можливі випадки.

1. p = r = q.

У цьому випадку концентрації всіх сплавів однакові і рівняння показує, що існує нескінченна множина розв’язків. Можна взяти скільки завгодно першого сплаву і скільки завгодно другого сплаву.

2. p = r ¹ q.

У цьому випадку рівняння набирає вигляду

звідки знаходимо: х — будь-яке, у = 0.Фізичний зміст цього розв’язку зрозумілий: якщо концентрація сплаву, який потрібно одержати, збігається з концентрацією першого сплаву, але не дорівнює концентрації другого сплаву, то першого сплаву можна взяти скільки завгодно, а другого сплаву не брати зовсім.

3. p ¹ r = q.

Дістаємо рівняння

звідки знаходимо: у — будь-яке, х = 0.

4. р ¹ м, р ¹ q, q ¹ r.

У цьому випадку можна записати:

Оскільки у ¹0, то

Це значення буде розв’язок задачі, якщо виконується нерівність

Неважко показати, що ця нерівність справджується, якщо значення r міститься між значеннями р та q. Таким чином, якщо р ¹ q,то можна одержати сплав із будь-яким процентним вмістом міді між р і q.

Незважаючи на те, що цей приклад дуже простий, він доволі добре ілюструє основний метод розв’язування задач, пов’язаних із сумішами.

Розглянемо ще одну задачу.

 

Якщо в посудині об’єму V ₀, містить р % розчин солі. Із посудини виливається а п суміші і додається а л води. Ця процедура повторюється п разів. Тоді концентрація солі в розчині після п переливань визначається формулою:

                     (2)

 

Приклад 2. У посудині об’ємом V ₀ міститься а л солі. Значення a/V ₀ відоме. Після скількох переливань концентрація солі в розчині зменшиться більш ніж у k раз?

Розв’язування.

 

Використовуючи формулу (2) для концентрації солі в розчині після п переливань, дістаємо

Звідси знаходимо

Найменша кількість таких переливань дорівнює . ×

 

Приклад 3. Відомо, що після п переливань концентрація солі в розчині зменшилася в k раз. Визначити, яку частину об’єму посудини становлять а л.

Розв’язування.

 

Відповідно до формули (2), якою подається концентрація солі в розчині після п переливань, маємо

або

Звідси знаходимо шукане відношення:

 ×

Зауваження. Формула (2) пов’язана з правилом нарахування «складних відсотків».

Про «складні відсотки» говорять у тому разі, коли значення деякої величини поетапно змінюється, причому на кожному етапі зміна становить певну кількість відсотків від значення, що його ця величина мала на попередньому етапі.

Розглянемо спочатку випадок, коли наприкінці кожного етапу значення величини змінюється на ту саму сталу кількість р від-
сотків.

Деяка величина А, вихідне значення якої дорівнює А ₀, наприкінці першого етапу матиме значення

Наприкінці другого етапу її значення становитиме

Тут множник  показує, у скільки разів значення величини збільшилося за один етап. У попередніх задачах про концен­трації цю роль відігравав множник

Наприкінці третього етапу

і т. д.

Неважко зрозуміти, що наприкінці п -го етапу значення величини А подається формулою:

                    (3)

Ця формула показує, що значення величини А зростає (або спадає, якщо р < 0) як геометрична прогресія, перший член якої А ₀, а знаменник дорівнює

Приклад 4. Ощадкаса виплачує 3 % річних. Через скільки років внесена сума подвоїться?

Розв’язування.

 

Нехай внесок становить А ₀грн. Тоді через п років на цьому рахунку буде 2 А ₀ грн. Маємо:

Відповідь. Через 23 роки.

 

 

Задачі на рух.

Розглянемо задачі на складання рівнянь, які умовно можна назвати задачами на рух. Система рівнянь, яку необхідно скласти на підставі умови кожної з таких задач, містить зазвичай параметри руху: пройдену відстань (S), швидкості тіл, що рухаються, (u, v, w), час руху (t).

Зауважимо, що позначення тих чи інших невідомих прийнятими для них у фізиці буквами зосереджує увагу на суті задачі, робить систему рівнянь більш зрозумілою для розв’язування задачі, виключає випадкові помилки, що можуть виникати через безликість введених позначень.

Припущення, що звичайно приймаються (якщо не зроблено іншого застереження) в умовах задач на рух, полягають ось у чому:

а) рух на окремих ділянках вважається рівномірним; при цьому пройдений шлях визначається за формулою

б) повороти тіл, що рухаються, вважаються миттєвими, тобто відбуваються без витрат часу; швидкість при цьому також змінюється миттєво;

в) якщо тіло рухається за течією ріки, то його швидкість w складається зі швидкості в стоячій воді v і швидкості течії ріки u:

а якщо проти течії ріки, то його швидкість дорівнює

Якщо в умові задачі мова йде про рух плотів, то це означає, що тіло рухається зі швидкістю течії ріки.

До задач на рух належать також задачі, в яких хтось виконує деяку роботу; задачі, пов’язані з наповненням і спорожнюванням резервуарів. У задачах такого типу робота чи об’єм резервуара відіграє роль відстані, а продуктивність об’єктів, що виконують роботу, аналогічні швидкостям руху.

У задачах на рух особливо корисно будувати ілюстративний рисунок, фіксуючи всі характерні моменти — зустрічі, зупинок і поворотів. Вдалий рисунок допомагає зрозуміти зміст задачі, усвідомити зв’язок між даними та невідомими. Приклади таких креслень наведено далі.

При розв’язуванні задач на рух доводиться розглядати такі дві ситуації:

а) рух двох точок назустріч одне одному (рис. 1); якщо початкова відстань між двома точками, що рухаються назустріч одна одній зі швидкостями  і   дорівнює  то час, через який вони зустрінуться, дорівнює

Рис. 1

б) рух в одному напрямі (рис. 2); якщо початкова відстань між двома точками, з яких одна наздоганяє іншу, дорівнює  той час, через який друга точка (швидкість ) дожене першу (швидкість ), дорівнює

Рис. 2

Розглянемо тепер методику складання рівнянь по тексту задачі. Зробимо це на конкретних прикладах.

Приклад 1.  Міста А і В розташовані на березі річки, причому місто В розташоване нижче за течією. О 10-й годині ранку з міста А до міста В відпливає пліт і одночасно з міста В до міста А відпливає човен, який зустрічається з плотом через 5 годин. Допливши до міста А, човен повертає у зворотному напрямі і припливає одночасно з плотом. Чи встигне човен або пліт прибути до міста В о 10 годині вечора (того самого дня)?

Розв’язування

За умовою задачі будуємо рис. 3.

 

Рис. 3

Виділимо з умови задачі речення, математичний запис яких утворить рівняння. Їх два:

· човен і пліт відправляються одночасно і зустрічаються через 5 годин;

· човен повертається в місто В одночасно з плотом.

Для математичного запису цих речень потрібно з’ясувати, які невідомі потрібно розглянути. В основу вибору невідомих можна покласти простий принцип: невідомі варто вводити так, щоб за їх допомогою найлегше записати у вигляді рівнянь наявні в задачі умови. При цьому зовсім не обов’язково, щоб величина, яку потрібно визначити, фігурувала серед невідомих.

Наприклад, у розглядуваній задачі такі параметри, як відстань між містами s, швидкість течії ріки (і плоту) u і швидкість човна в стоячій воді v, дають змогу дуже просто записати всі наявні умови (див. таблицю).

 

Умова задачі	Рівняння
Човен і пліт відправляються одночасно і зустрічаються через 5 год
Човен повертається в В одночасно з плотом

 

В останньому рівнянні співвідношення   являє собою час руху плоту,  — час руху човна проти течії,  — час руху човна вниз за течією ріки.

Таким чином, маємо систему двох рівнянь із трьома невідомими. Ясно, що всі три невідомих s, u і v з цієї системи двох рівнянь однозначно знайти не можна. Тому звернемося ще раз до умови задачі. Що ж потрібно визначити? У задачі запитується, чи встигне човен або пліт прибути в місто В до 10 год вечора, тобто більший чи менший за 12 год час руху човна. Оскільки цей час дорівнює s/u, то з’ясовується, що потрібно визначити не самі невідомі s і u, а тільки їх відношення, величину s / u.

Систему рівнянь задачі можна записати в такому вигляді

або

Таким чином, ця система фактично містить тільки два невідомих: s/v і u/v.

З другого рівняння визначається значення співвідношення u / v. Воно дорівнює  Таким чином, маємо

Після цього відразу визначається співвідношення

Виходить, човен і пліт не встигнуть приплисти в пункт В до 10 год вечора того ж дня.

Зауваження. 1. Умова цієї задачі не містить величин, що мають розмірність довжини. Тому тут можна було б позначити відстань між містами через 1. Фактично це означало б, що відстань між містами взято за одиницю вимірювання довжини. Тоді з першого рівняння знаходимо швидкість руху човна і потім час руху

2.Розгляд цих двох прикладів показує, у чому полягає методика складання рівнянь за текстом задачі. Її сутність у тому, щоб виділити в тексті задачі ті речення, що пов’язують між собою параметри руху. Після введення невідомих за принципом найбільшої зручності запису відповідних зв’язків виходять рівняння, що визначають розв’язок задачі.

Як останній приклад в цьому підрозділі розглянемо задачу на виконання роботи. Як уже зазначалося, такі задачі з повним правом можна прирахувати до задач на рух.

Приклад 2. Дві машини, що риють тунель назустріч одна одній, закінчили його проходження за 60 днів. Якщо перша машина працювала б 18 днів, а друга 16 днів, то разом вони пройшли б 60 м тунелю. Якщо перша машина виконала б 2/3 всієї роботи другої машини з проходження тунелю, а друга 0,3 всієї роботи першої машини, то першій знадобилося б для цього на 6 днів більше, ніж другій. Скільки метрів тунелю в день проходить кожна машина?

Розв’язування

Введемо, за аналогією до швидкостей у задачах на рух, продуктивності машин  (м/день) і  (м/день). Тоді всю роботу — довжину тунелю — можна розглядати як аналог відстані в задачі на рух. При цьому вона визначається сумою

Тут  — обсяг роботи, виконаної першою машиною, а  — обсяг роботи, виконаної другою машиною.

Складемо рівняння задачі, користуючись таблицею: