Числова функція. Область визначення функції.

У курсі алгебри і початків аналізу ми будемо користуватися таким означенням числової функції.

Числовою функцією з областю визначення D називається залежність, при

якій кожному числу x із множини D ставиться у відповідність єдине

число y.

Функції позначають латинськими (інколи грецькими) буквами. Розглянемо

довільну функцію f.  Число y,  яке відповідає  числу x (на рисунку 1 це показано

стрілкою), називають значенням функції f у точці x і позначають f (x).

Область визначення функції f — це множина  тих значень, яких може набувати аргумент x. Вона позначається D (f).

Область значень функції f — це множина, яка складається із всіх чисел

f (x), де x належить області визначення. Її позначають E (f).

Способи задання функції

Функцію можна задати за допомогою таблиці, графіка, фор­мули.   

Найчастіше функцію задають за допомогою формули. При цьому якщо не дано додаткових обмежень, то областю визначення функції, заданої формулою, вважають множину всіх значень змінної, при яких ця формула має сенс.

Наприклад, я кщо кожному значенню х із множини дійсних чисел поставити у відповідність квадрат цього числа, то-функ­цію можна записати у вигляді формули: у = х² або f (x)= x ².

Функцію також можна задати за допомогою таблиці.

Розглянемо приклад. Результати вимірювання температури тіла хворого в залежності від часу подано в таблиці:

Час доби х (год)	9	12	15	18	21	24
Температура тіла y = f (x) (С°)	39	38,5	38,3	37,3	37,1	37

 

Залежність у·= f (x) є функцією, х — незалежна змінна, у — залежна змінна.

f (9) = 39, f (12) = 38.5,..., f (24) = 37.

D(f) = {9;12;15; 18; 21; 24}.

E(f) = {39; 38,5; 38,3; 37,3; 37,1; 37}.

Наприклад, я кщо кожному значенню х із множини дійсних чисел поставити у відповідність квадрат цього числа, то-функ­цію можна записати у вигляді формули: у = х² або f (x)= x ².

Областю визначення функції у = f (x), яка задана формулою, називається множина тих значень, які може приймати х, тобто формула має зміст (усі дії, вказані формулою, можна виконати).

Наприклад, формула  має сенс при всіх , тому областю визначення функції  вважають множину всіх дійсних чисел, що не дорів­нюють нулю. Область її значень збігається з областю визначення і є об’єднанням інтервалів (–∞; 0) і (0; ∞).

Отже, для функції

 При знаходженні області визначення слід пам'ятати:

2) Якщо функція є многочленом у = а _n х ⁿ + α _{n -1} x^{n -1} +... + α ₁ x + a₀,

то D (y) = (- ; + ) = R.

2) Якщо функція має вигляд у =  , де f (x) і g (x) — многочлени, то слід вважати g (x) 0 (знаменник дробу не дорів­нює 0).

3) Якщо функція має вигляд у =  , то слід вважати f (x) > 0 (арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємних чисел).

Приклад. Знайдемо область визначення дробово-раціо­нальної функції

Розв’язування.

Корені многочлена  — числа 0, 1 і 2. Тому
D (f) = (–∞; 0)  (0; 1)  (1; 2)  (2; ∞).

 

Графіком функції f називають множину всіх точок (x; y) координатної площини, де y = f (x), а x пробігає всю область визначення функції f.

Підмножина координатної площини є графіком будь-якої фун­кції, якщо вона має не більш як одну спільну точку з будь-якої прямої, паралельної осі Oy. Наприклад, множина, зображена на рис. 1, не є графіком функції, оскільки вона містить дві точки з однією і тією самою абсцисою a, але різними ординатами b ₁ і b ₂. Якби ми розглядали цю множину як графік функції, то довелося б вважати, що ця функція має при x = a відразу два значення b ₁ і b ₂, що суперечить означенню функції.

Часто функцію задають графічно. При цьому для будь-якого x₀
з області визначення легко знайти відповідне значення y ₀ = f (x ₀)функції (рис. 2).

                               

 

 

№1. Знайдіть значення функції:

  a) f (x) =  у точках 1; -1; 5;    б) f (x) =  у точках 3; 12; 52.

 

Відповідь: а) f (1) = 2, f (-1) = 0; f (5) = 1,2;

б) f (3) = 0; f (12) = 3; f (52) = 7

 

№2. Функцію задано формулою у = x ² на області визначення D = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}. Задайте її за до­помогою:

а)таблиці;   б)графіка.

Відповідь:

a)	x	-3	-2	-1	0	1	2	3
	y	9	4	1	0	1	4	9

б) рис. 1

 

 

№3. Знайдіть область визначення функції:

а) у = х² + х³; б)  ; в) ; д) ; є) .

Відповідь:

a) D(y) = R;  б) D(y) = (- ; 3)  (3; + ); в) D (y) = (- ;-2)  (-2;0)  (0;+ );

г) D(y) = (- ; -3)  (-3; 3)  (3; + ); д) D (y) = (- ;l)  (l;4)  (4;+ );

є)   D (y) = [-6; + ).

№4. Знайдіть область значень функції: а) у =    ; б) у =  -1.

Відповідь: а) Е(у) = [2; + ); б) Е(у) = [1; + ).

 

№5. Для функцій, графіки яких зображено на рис.2, вкажіть D (y) і Е(у).

 

 

 

 

 

Рис. 2

Відповідь:

а) D(у) = [-1;1]; Е(у) = [0;1]; б) D(y) = [-1;1]; E(y) = [-2;2];

в) D (y) = (-1;1); E(у) = R; г) D(y) = R; Е(у) = (-1;1).

6. Які із ліній, зображених на рисунку 3, є графіком функції? Чому?

Відповідь: а); в).