Самостійне вивчення з розробкою конспекту та розв’язуванням задач.

План.

1. Неперервність функцій.

2. Типи розривів числових функцій

Форми поточного та підсумкового контролю самостійної роботи:

1. Поточний:

· перевірка конспектів

· усне опитування

·  розв’язування задач.

2. Підсумковий:

· тематична контрольна робота

·  державна підсумкова атестація

Лекційний матеріал до теми.

1.Неперервність функцій.

Розгляньте графіки функцій, зображених на рис. 1.

 

Рис. 1

 

 

Які із цих графіків можна накреслити, не відриваючи олівця від аркуша паперу?

Точки, у яких при побудові графіка відриваємо олівець від паперу, називають точками розриву, а функцію – розривною в цій точці.

На рис. 1 розривними функціями є функції f ₂, f ₃, f ₄, які мають розрив в точці х = 1.

Рис 2

 

В усіх останніх точках області визначення функцій f ₂, f ₃, f ₄ ці функції не мають розриву. Отже, в інших точках функції f ₂, f ₃, f ₄ неперервні, функція f ₁ неперервна в кожній точці. Якщо функція у= f (x) неперервна в кожній точці деякого проміжку, то її називають неперервною на даному проміжку. Справедливі такі теореми.

Теорема 1. Якщо функції у = f (x) і у = g (x) є неперервними в точ­ці х, то в цій точці будуть неперервними й функції у = f (x) ± g (x) та у = f (x) – g (x).

Теорема 2. Якщо функції у = f (x) і у = g (x) є неперервними в точці х_о і , то в точці х_о, буде неперервною також і функція .

Висновок:

4) Многочлен у = а₀ + а₁х + а₂х² +... + а _n xⁿ – неперервна функ­ція в будь-якій точці .

5) Дробово-раціональна функція  неперервна в усіх точках числової осі, крім тих точок, у яких знаменник дорівнює нулю.

Крім того, слід зазначити, що вивчені нами функції

у = , у = |х| є та­кож неперервними в усіх точках області визначення.

Приклад 1. Які із функцій, графіки яких зображено на рисунку 3, не­перервні, а які розривні в точці О?

 

 

Рис 3

Відповідь: неперервна функція зображена на рис. а; останні функції розривні в точці О.

Приклад 2. Укажіть проміжки неперервності функцій f і g, зображених на рис 4

Відповідь: функція у = f (x) неперервна на проміжках (- ;0), (0; 1), (1;+ ),

функція у = g (x) неперервна на проміжках (- ; 1), (1; + ).

 

 

Рис. 4

 

Приклад 3. Побудуйте графік функції у = f (x). Чи міститься в області ви­значення функції точка, в якій функція не є неперервною?

Відповідь: а) Рис. 5, а, функція розривна в точці х = -1;

б) Рис. 5, б, функція неперервна для х  R;

в) Рис. 5, е, функція розривна в точці х = 1;

г) Рис.5, г, функція неперервна для х  R.

 

 

Рис 5

Типи розривів числових функцій

· Розрив 1-го роду

      

· Розрив 2-го роду

     

 

№1. Дослідити на неперервність функцію:

1) f (х) = 3 х ² – 2 х;               2) f (х) = х ³ + 2 х ²;

3) f (х) = 3 х ⁴ – х ² + 1;           4) .

№2. Дослідити на неперервність функцію:

1) ;             2) .

№3. Чи є функція у = f (х) неперервною в точці х ₀, якщо

1)   х _о = -2; 2)   х _о = 2?

 

 

Тема 2. Степенева, показникова і логарифмічна функції.