Самостійне вивчення з розробкою конспекту та розв’язуванням задач.

План.

 1. Ознака перпендикулярності двох прямих в просторі

 2. Розв’язування вправ

Форми поточного та підсумкового контролю самостійної роботи:

1.Поточний:

· перевірка конспектів

· усне опитування

·  розв’язування задач.

2.Підсумковий:

· тематична контрольна робота

·  державна підсумкова атестація

Лекційний матеріал до теми

 

Поряд із відношенням паралельності в геометрії важливе значення має відношення перпендикулярності. У планіметрії ми говорили про перпендикулярність прямих. Перпендикулярними прямими на площині називаються прямі, які перетинаються під прямим кутом.

У стереометрії розглядають три випадки перпендикулярності: перпе­ндикулярність прямих, перпендикулярність прямої і площини, перпен­дикулярність площин. Почнемо з випадку перпендикулярнос­ті прямих у просторі.

Дві прямі називаються   перпендикулярними, якщо вони перети­наються під прямим кутом.

Теорема. Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні відповідно двом перпендикулярним прямим, то вони теж перпендикулярні.

Дано: a b, а α, b α; а₁||а, b₁||b, а₁ α₁, b₁ α₁, а₁ і b, перетинаються (рис. 1).

Довести: а₁  b₁

                             Рис 1                                                        

Доведення

Номер п/п	Твердження	Аргумент
1	а і b лежать в α, а1 і b1 лежать в α1	Сз
2	а || а1	Теорема 2.4
3	Нехай точка С — точка перетину а і b, точка С1 — точка перетину а1 і b1	Означення
4	AA1 || СС1, ВВ1 || CC1	Теорема 2.1
5	A1A2 || BB1	Теорема 2.2
6	CAA1C1 і CBB1C1 — паралелограми, отже, AC = А1С1, BC = B1C1	AC||A1C1;AA1 || CC1, СВ || С1В1, ВВ1 || СС1
7	АВB1А1 — паралелограм, отже, АВ = А1B1,	АВ||А1B1, AA1 || ВВ1
8	ΔАВС =ΔА1В1С1, отже, <A1C1B1= <ACB = 90°, тоді а1  b1	Третя ознака рів­ності трикутників

 

Приклад 1. Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Через точку М, що належить ребру АА₁ в грані AA₁DD₁, проведіть пряму MN так, щоб <MOD₁ = 90°, де точ­ка О — точка перетину прямих MN і AD₁.

                                 Рис 2

Розв'язання

Проведемо в квадраті A₁ADD₁ діагоналі AD₁ і A₁D (AD₁ A₁D) (рис. 2). Через точку М ребра АА₁ в грані АDD₁А₁ проведемо пряму MN || А₁D. За теоремою 3.1 MN  AD₁, оскільки <A₁OD₁ = 90°.

 

№1. SABC — тетраедр; <ABC = 90°; точки К, L, М — середини ребер SB, SA, SC відповідно (рис. 3). Знайти <MKL.

                                    

 

                          Рис 3                                   Рис 4

№2. Дано зображення куба ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 4). Точки М, N, Р, К — точки перетину діагоналей граней АВВ₁А₁, CDD₁C₁, А₁B₁С₁D₁ і ABCD відповідно. Довести, що MN  РК.

№3. Дано куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Через точку О грані А₁АDD₁ проведіть прямі ОМ і ON так, щоб ОМ || ВС, ON || СС₁. Доведіть, що <MON = 90°.

 

№4.Через точку О перетину діагоналей куба ABCDA₁B₁C₁D₁ проведіть площину α, паралельну основі А₁B₁С₁D₁ куба. Доведіть, що <MON = 90°, де точки М, N — точки перетину ребер СС₁ і BВ₁ з площиною α.

 

№5. ABCD — ромб, його сторони відповідно паралельні до сторін чоти­рикутника A₁B₁C₁D₁. Чи перпендикулярні діагоналі чотирикутника А₁B₁С₁D₁? (Відповідь. Не обов'язково.)

 

№6.Сторони двох рівнобічних трапецій відповідно паралельні. Діагона­лі однієї трапеції взаємно перпендикулярні. Чи перпендикулярні діагоналі другої трапеції? (Відповідь. Не обов'язково.)

 

 

Тема 8. Похідна та її застосування.