Комбінації многогранників і конуса

Піраміда називається вписаною в конус, коли многокутник, що лежить в її основі, вписаний в основу конуса, а вершина збігається з вершиною конуса.

Бічні ребра піраміди, вписаної в конус, є твірними конуса.

Пірамідою, описаною навколо конуса, називається така пірамі­да, в якої многокутник, що лежить в основі, описаний навколо осно­ви конуса, а вершина збігається з вершиною конуса.

Конус називається вписаним в призму, якщо його основа вписа­на в одну основу призми, а вершина лежить у другій основі призми.

Призма називається вписаною в конус, якщо одна основа її лежить в основі конуса, а друга вписана в переріз конуса площи­ною, що проходить через цю основу призми паралельно основі ко­нуса.

Комбінації многогранників і кулі

При розв'язуванні задач на комбінацію многогранників і куль важ­ливо вміти визначати положення центра вписаної або описаної кулі.

Центром кулі, описаної навколо многогранника, є точка, рівновіддалена від усіх його вершин, а кулі, вписаної в многогранник, — точка, рівновіддалена від усіх його граней. Центром кулі, вписаної у пра­вильний многогранник, є точка перетину його бісекторних площин.

Центром, описаної навколо прямої призми кулі є середина її ви­соти, що проходить через центр кола, описаного навколо основи при­зми. Якщо навколо основи призми не можна описати коло, то навколо такої призми не можна описати кулю. Центром кулі, описаної навко­ло прямокутного паралелепіпеда, є точка перетину його діагоналей.

Діаметр кулі, вписаної у пряму призму, дорівнює діаметру кола, вписаного в основу, а також висоті призми. Тому центр вписаної у пря­му призму кулі збігається із серединою висоти, проведеної через центр вписаного в основу кола. Якщо висота призми не дорівнює діаметру впи­саного в основу кола або ж в основу призми не можна вписати коло, то в таку призму не можна вписати кулю.

Центром кулі, описаної навколо піраміди, є точка перетину пер­пендикуляра до основи, який проведено з центра описаного навколо основи кола, і площини, що проходить через середину будь-якого ребра, перпендикулярного до нього. Якщо навколо основи піраміди не можна описати коло, то навколо такої піраміди не можна описати кулю. Навколо правильної піраміди завжди можна описати кулю.

Центром вписаної у піраміду кулі є точка перетину бісектор­них площин двогранних кутів при основі. Центром кулі, вписаної у правильну піраміду, є точка перетину її висоти з бісекторною пло­щиною, проведеною через сторону основи піраміди.

Куля і конус

Куля називається вписаною в конус, якщо вона дотикається до основи конуса в його центрі і до бічної поверхні по колу.

Куля називається описаною навколо конуса, якщо його вершина і коло основи лежать на поверхні кулі.

При розв'язуванні задач на комбінацію кулі з конусом зручно вико­ристовувати переріз комбінації тіл площиною, яка проходить через вісь конуса і центр кулі. У перерізі одержуємо великий круг кулі з вписаним у нього рівнобедреним трикутником — осьовим перерізом конуса. Тому питання про відшукання центра описаної навколо конуса кулі зводиться до визначення центра кола, описаного навколо осьового перерізу конуса.

Якщо куля вписана в конус, то перерізом комбінації площиною, яка проходить через вісь конуса і центр кулі, буде рівнобедрений трикутник (осьовий переріз конуса) з вписаним у нього великим кругом кулі. Звід­си випливає, що у зрізаний конус можна вписати кулю тоді, коли його твірна дорівнює сумі радіусів верхньої і нижньої основ конуса.

Куля і циліндр

Куля називається вписаною у циліндр, якщо куля дотикається до обох основ циліндра в їх центрах і до бічної поверхні циліндра по колу великого круга кулі, паралельного основам циліндра.

Циліндр при цьому називається описаним навколо кулі.

Куля називається описаною навколо циліндра, якщо кола його основ лежать на поверхні кулі.

Циліндр при цьому називається вписаним у кулю. Як і при розв'язуванні задач на комбінацію кулі і конуса, часто ви­користовують перерізи комбінації кулі і циліндра площиною, яка прохо­дить через вісь циліндра, а отже, і через центр вписаної або описаної кулі. Перерізом буде прямокутник із вписаним чи описаним колом. Звідси випливає, що:

а) в циліндр можна вписати (описати) кулю тоді, коли в осьовий переріз циліндра можна вписати (описати) коло; 

б) центр кулі, описаної (вписаної) навколо циліндра, лежить на середині осі циліндра;

в) вписати кулю можна тільки в рівносторонній циліндр.

Конус і циліндр

Конус називається вписаним у циліндр, якщо основа конуса збі­гається з однією з основ циліндра, а вершина конуса лежить у центрі другої основи циліндра.

При цьому циліндр називається описаним навколо конуса.

Циліндр називається вписаним в конус, якщо одна основа ци­ліндра лежить у площині основи конуса, а коло другої лежить на бічній поверхні конуса.

Конус при цьому називається описаним навколо циліндра.

№1. Циліндр описано навколо трикутної призми висотою H, основою якої є прямокутний трикутник з гіпотенузою с. Визначте, які з на­ведених тверджень правильні, а які — неправильні:

а) основою комбінації тіл є прямокутний трикутник, вписаний в круг;

б) центр основи циліндра належить найбільшій бічній грані призми;

в) радіус циліндра більше ;

г) бічна поверхня циліндра дорівнює π сН.

№2. Циліндр радіуса r вписано в пряму чотирикутну призму, основою якої є ромб зі стороною а. Висота призми дорівнює Н. Визначте, які із наведених тверджень правильні, а які — неправильні:

а) бічні ребра призми збігаються з твірними циліндра;

б) основою комбінації тіл є круг радіуса r, вписаний в ромб;

в) площа основи призми дорівнює 2 а r;

г) об'єм призми дорівнює 4 а r Н.

№3.Радіус основи конуса дорівнює 39 см, висота — 52 см. У нього впи­сано циліндр такої висоти, що його бічна поверхня рівновелика біч­ній поверхні малого конуса, який стоїть на його верхній основі. Знайдіть висоту циліндра. (Відповідь. 20 см.)

 

№4.У конус з радіусом основи R і висотою Н вписано циліндр, у якого радіус основи r і висота h. Доведіть, що  +  = 1.

№ 5.У конус з висотою Н і твірною l вписано циліндр, у якого бічна по­верхня в п раз менша бічної поверхні конуса. Знайдіть висоту циліндра.

(Відповідь. .)

№6. У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині до­рівнює α. Знайдіть площу повної поверхні вписаного конуса, якщо площа основи піраміди дорівнює Q. (Відповідь. .)

№7.У правильній чотирикутній піраміді плоский кут при вершині дорівнює α. Знайдіть площу бічної поверхні конуса, описаного навколо піраміди, якщо її висота дорівнює Н. (Відповідь. .)