Тема 3. Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл и его свойства

Функция F(x) называется первообразной функции f (х) на интервале (а; b), если выполняется равенство

Из этого определения следует, что для нахождения первообразной необходимо по заданной функции f (x) найти функцию F (x), производная которой равна f (x).
Пример:

Найти первообразную функцию для функции f(x) = cos x

Решение: Первообразной функции f(x) = cos x является функция F(x) = sin x, так как

F’(x) = (sin x)’ = cos x = f(x)

 

Первообразными будут также любые функции F(x) = sin x + C, где

С – постоянная величина, так как

F’(x)=(sin x + C)’ = cos x = f(x)

 

Множество всех первообразных функций F( x ) + C для функции f(х) называется неопределённым интегралом от функции f(х) и обозначается символом
, где C - произвольная постоянная. Функцию f (x) принято называть подынтегральной функцией, произведение f (x) dx - подынтегральным выражением, х – переменная интегрирования.

Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой множество интегральных кривых y= F(x) + C, каждому числовому значению С соответствует определенная кривая. График каждой кривой называется интегральной кривой.

Cвойства неопределенного интеграла:

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций

Таблица основных неопределённых интегралов

 

 

 

Пример 1.

1. Вычислить неопределенный интеграл

Пример 2.

1. Вычислить неопределенный интеграл

 

Пример 3. Подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого

Пример 4. Подведение под знак дифференциала постоянного множителя

 

 

Пример 5.

Замена переменной в неопределённом интеграле
(интегрирование подстановкой)

Если интеграл  не может быть вычислен непосредственно по основным формулам, то введением новой независимой переменной во многих случаях удается преобразовать подинтегральное выражение f(x) dx. При этом интеграл приводится к табличному или к такому, прием вычисления которого уже известен. Замена переменной и составляет существо метода, называемого методом подстановки.

Два правила подстановки:

1. Независимую переменную заменяют по формуле   x = t(z), где t(z) – дифференцируемая функция. Тогда dx = t^'(z) dz, а интеграл  приводят к виду

. После интегрирования получится функция независимой переменной z. Чтобы возвратиться к переменной х, надо определить z через х и подставить это значение вместо z в найденную функцию.

2. Полагаем z = f(x), тогда   f(x) dx = g(z) dz. Вычисление интеграла сводится к вычислению

. Чтобы возвратиться к переменной х, надо подставить в полученную функцию f(x) вместо z

Пример 1.

задача сведена к вычислению , где

t = cos(x)

Пример 2. Вычислить интеграл

Делаем подстановку t= sin(x), тогда

 

В результате

 

Пример 3.

Пример 4.