Дифференциал и его геометрический смысл

Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.

, тогда

Дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:

dy= ƒ'(х) × dx

Дифференциалом аргумента называется приращение аргумента: dx = ∆х

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка.

Из формулы следует равенство dy/dx=ƒ'(х).

С геометрической точки зрения дифференциал функции в точке х представляет собой приращение ординаты касательной к графику функциив этой точке, когда х получит приращение ∆х. При малых ∆х величина приращения функции ∆у приближенно равна дифференциалу: ∆у = dy

 

Основные свойства дифференциала

Пусть u= u(x) и v= v(x) дифференцируемые функции, тогда

dC = 0, где С = const;

 d(Cu) =C du

d(u + v) = du + dv

d(uv)= udv + vdu

d(f(u))=ƒ'(u)du

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Пример 1: Найти дифференциал функции y=cos(x)

dy = (cos x)^’dx, dy = - sinx dx

Пример 2: Найти дифференциал функции ƒ(х)=3x²-sin(l+2x).

Решение: По формуле dy=ƒ'(х) dx находим

dy=(3х²-sin(l+2x))'dx = (6х - 2cos(l+2х))dx.

Пример 3: Найти дифференциал функции y = 2,5x⁴ – 7,5x² + 8 и вычислить насколько изменится значение функции при изменении ее аргумента от х = 2 до х = 2,003

Решение:

∆у ≈ dy= y' × dx=(10 x ³ – 15 x) ∆х = (10*8 – 15*2)*0.003 =50*0.003 = 0.15

∆у ≈ 0.15

Пример 4: Дана функция f(x) = 2x³ – 6x² + 4x - 1

Найти (приближенно) значение F(1,005)

Решение:

Пусть х= 1 и ∆х = 0,005, тогда

F(x + ∆х) = F(1,005) = F(x) + ∆F(х) = F(1) + ∆F(х)

F(1) = 2*1 – 6*1 + 4*1 – 1 = – 1

∆F(х) ≈ dF(x) = F'(х)× dx = (6x² – 12x + 4) ∆x = (6*1 – 12*1 + 4) * 0,005 = -0,01

F(1,005) = -1 + (-0,01) = - 1,01

Пример 5: Найти приближенное значение приращения функции у=х³-2х+1 при х=2 и ∆х=0,001.

Решение: Применяем формулу ∆у≈dy=(х³-2х+1)'•∆х=(3х²-2)•∆х.

Итак, ∆у≈ 0,01.

Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем ∆у:

∆у=((х+∆х)³-2(х+∆х)+1)-(х³-2х+1)=х³+3х²•∆х+3х•(∆х)²+(∆х)³-2х-2•∆х+1-х³+2х-1=∆х(3х²+3х•∆х+(∆х)²-2);

Абсолютная погрешность приближения равна

|∆у-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.

Подставляя значения ∆у и dy, получим

ƒ(х+∆х)-ƒ(х)≈ƒ'(х)∆х

или

ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ'(х)•∆х.

Формула используется для вычислений приближенных значений функций.

Пример 6:

Вычислить приближенно arctg(1,05).

Решение: Рассмотрим функцию ƒ(х)=arctgx. По формуле:

F(x + ∆х) = F(x) + ∆F(х)

arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)'•∆х,

т. е.

Так как х+∆х=1,05, то при х=1 и ∆х=0,05 получаем:

Таблица дифференциалов

 

 

Производные высших порядков

Определение: Пусть F’(x) – производная от функции F(x), тогда производная от функции F’(x) называется второй производной от функции F(x) и обозначается F”(x).

Физический смысл: Если функция у = F(x) описывает закон движения материальной точки по прямой, то первая производная F’(x) – мгновенная скорость точки в момент времени, а вторая производная равна скорости изменения функции, т.е. ускорению движущейся точки в этот момент времени.

Итак, у"=(у')'.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'" (или ƒ'"(х)).

Итак, у'"=(y")'

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n-1) порядка:

y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))'.

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (у^V или у⁽⁵⁾— производная пятого порядка).

Пример 1:

Найти вторую производную функции.

Первая производная равна

 

 

далее находим

Пример 2. Найти вторую и третью производные функции 

Тогда