Исследование кривых на выпуклость, вогнутость

 

Пусть – функция, дифференцируемая на интервале . Рассмотрим кривую, являющуюся графиком функции .

Кривая, заданная функцией , называется выпуклой на интервале , если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Кривая называется вогнутой на интервале , если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

Точка кривой M ₀(x ₀, f (x ₀)), отделяющая выпуклую ее часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Для того, чтобы кривая  в данной точке была выпукла, достаточно, чтобы вторая производная функции  в этой точке была отрицательна, т. е.

Для того, чтобы кривая  в данной точке была вогнута, достаточно, чтобы вторая производная функции  в этой точке была положительна, т. е.   

 

Исследование кривых на перегиб

Е правило

- чтобы кривая  имела перегиб при х = х₀ необходимо, чтобы вторая производная в точке х₀ либо обращалась в нуль, либо не существовала

- чтобы кривая  имела перегиб при х = х₀ достаточно, чтобы слева и справа от точки х₀ вторая производная имела разные знаки

Е правило

- чтобы кривая  имела перегиб при х = х₀ достаточно, чтобы вторая производная в точке х₀ либо обращалась в нуль, а третья производная в этой точке была отлична от нуля

Пример 5.

Определитьнаправление выпуклости и точки перегиба кривой

Решение

- область определения - вся ось абсцисс; область непрерывности - вся ось абсцисс

- находим первую производную и вычисляем вторую производную

Ищем точки х из области определения функции, в которых  или не существует.

Вторая производная равна нулю   в точках . Эти точки являются искомыми, так как область определения и область непрерывности данной кривой есть вся ось абсцисс. Других точек х, которые могли бы быть абсциссами точек перегиба, нет, так как  существует всюду.

Исследуем найденные точки, определяя знак  слева и справа от каждой из них. Результаты исследования запишем в таблицу, подобную той, которая составляется при отыскании точек экстремума

 

Таблица

x		0	(0, 1)	1
		0		0
	выпукла	нет перегиба	выпукла	точка перегиба	вогнута

 

Пример 6.

Дана кривая у = (х³ – 21 х²)/2. Найти точки перегиба

Решение:

Находим первую производную у’ =1/2× (3х² – 42х)

Вычисляем вторую производную

                                                    У” = 1/2 × (6х -42) =3(х – 7)

Вторая производная равна нулю  в точке х = 7 (3(х-7)=0)

Т.к. вторая производная существует во всей области определения функции, то перегиб может быть лишь при х = 7

x	(-¥, 7)	7	(7, +¥)
		0
	выпукла	перегиб	вогнута

 

Асимптоты

 

При исследовании функции часто приходится устанавливать вид ее графика (а значит, и характер функции) при неограниченном удалении точки графика от начала координат (при стремлении переменной точки в бесконечность). При этом важным случаем является тот, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.

Если , то прямая  является асимптотой графика  (при ). Эта асимптота параллельна оси Ox и называется горизонтальной асимптотой Аналогично, прямая  является асимптотой графика y = f (x) (при ), если    .

 

Рассмотрим асимптоты, параллельные оси Oy.

Прямая x = x ₀ называется вертикальной асимптотой,  если хотя бы один из пределов , , является бесконечным

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот нужно найти точки разрыва функции второго рода.

Пример 7. Найти вертикальные асимптоты для функции .

Решение

Функция  определена и непрерывна во всех точках числовой оси, за исключением точки x₀ = 2, в которой функция терпит разрыв,

= –¥, = +¥. Следовательно, прямая х = 2 является вертикальной асимптотой для графика y = . Кроме того, = 0 и = 0, следовательно, прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой при  и при .

 

Прямая   называется наклонной асимптотой функции   , если функцию можно представить в виде f(x)= kx + b

Определим числа k и b.

                                                                                                  

Определим коэффициент .

                                                                                                   

Если хотя бы один из пределов не существует, то при  кривая не имеет наклонной асимптоты.

Аналогично решается вопрос об асимптотах при .

Пример 8.  Найти асимптоты линии .

Решение

Функция  определена, непрерывна на бесконечном интервале  поэтому вертикальных асимптот нет.

Найдем наклонные асимптоты. Для этого вычислим пределы при  и при :

 =     = ,

так как     (проверьте это по правилу Лопиталя). Отсюда следует, что при  наклонных асимптот нет.

 = , так как     ,

отсюда .   Далее,  

значит, b = 0.

Итак, прямая y=-x есть наклонная асимптота при  для графика функции