Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Точки разрыва функции и их классификация
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х= х0 – точка разрыва функции y=f(x), то в ней не выполняется хотя бы одно их 3-х условий первого определения непрерывности функции. Все точки разрыва разделяются на точки разрыва первого и второго рода Точка разрыва х0 называется точкой разрыва первого рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. lim f(x) =A и lim f(x) = B При этом: 1. если А=В, то точка х0 называется точкой устранимого разрыва 2. если А# В, то точка х0 называется точкой конечного разрыва Величину | A- B | называют скачком функции в точке разрыва первого рода Точки устранимого разрыва и конечного скачка называются точками разрыва 1–го рода. Их отличительным признаком является существование конечных односторонних пределов. Точка разрыва х0 называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует, или равен бесконечности Пример 9. Найти точки разрыва функции, если они существуют, б) найти односторонние пределы в точках разрыва и установить тип точек разрыва функции f(x)=2 x/(3+x) Решение: Функция f(x)=2 x/(3+x) не определена в точке х=-3, значит это точка разрыва. Найдем односторонние пределы в этой точке. Сначала найдем односторонние пределы функции Пример 10. Найти точки разрыва функции и определить их тип f(x)= (x2 – 25)/(x-5) Решение: Область определения функции (- ¥,5)È (5, +¥). Точка х = 5 – точка разрыва Lim (x-5)(x+5)/(x -5)= lim (x+5) при х → 5 Lim (x+5) = 10 при x → 5-0 Lim (x+5) = 10 при x → 5+0 Т.е. односторонние пределы равны и х = 5 – точка устранимого разрыва 1 рода Пример 11. Исследовать функцию на непрерывность и определить вид точек разрыва У= 1/х Решение: Область определения функции (- ¥,0)È (0, +¥). Точка х = 5 – точка разрыва Рассмотрим односторонние пределы Lim 1/x = - ¥ при х → 0-0 Lim 1/x = + ¥ при х → 0+0 Т.е. х=0 – точка разрыва 2 рода Пример 12. Исследовать функцию на непрерывность и определить вид точек разрыва
f(x) = x / (1+x2) Решение: Lim x/(1+x2) = - ¥ при х = -1-0 Lim x/(1+x2) = + ¥ при х = -1+0 Т.е. х=-1– точка разрыва 2 рода Пример 13. Исследовать функцию на непрерывность
Решение. Данная функция не определена в точках x = − 1 и x = 1. Следовательно, функция имеет разрывы в точках x = ± 1. Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этих точках. Поскольку левосторонний предел при x = − 1 равен бесконечности, то данная точка является точкой разрыва второго рода. Аналогично, левосторонний предел в точке x = 1 равен бесконечности. Эта точка также является точкой разрыва второго рода.
Пример 14. Показать, что функция имеет устранимый разрыв в точке x = 0. Решение: Данная функция не определена при x = 0. Поскольку sin x является непрерывной функцией для всех x, то искомая функция
также непрерывна при всех x за исключением точки x = 0. Так как то в данной точке существует устранимый разрыв. Мы можем сконструировать новую функцию
которая будет непрерывной при любом действительном x. Пример 15. Найти точки разрыва функции , если они существуют. Решение: Данная функция существует при всех значениях x, однако она состоит из двух различных функций и, поэтому, не является элементарной. Исследуем "поведение" этой функции вблизи точки x = 0, где ее аналитическое выражение изменяется. Вычислим односторонние пределы при x = 0. Следовательно, функция имеет точку разрыва первого рода при x = 0. Скачок функции в этой точке равен При всех других значениях x функция является непрерывной, поскольку обе составляющие функции слева и справа от точки x = 0 представляют собой элементарные функции без точек разрыва. Пример 16. Найти точки разрыва функции , если они существуют. Решение: Данная элементарная функция определена для всех x, исключая точку x = 0, где она имеет разрыв. Найдем односторонние пределы в этой точке. Видно, что в точке x = 0 существует разрыв первого рода
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-05-11; просмотров: 204; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.147.54.242 (0.009 с.) |