Геометрический смысл производной.

Пусть – некоторая кривая, – точка на кривой .

Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках называется секущей.

Касательной к кривой   в точке  называется предельное положение секущей  если точка  стремится к , двигаясь по кривой.

Рассмотрим кривую y = f(x) (т.е. график функции y = f(x)). Пусть в точке он имеет невертикальную касательную . Ее уравнение: (уравнение прямой, проходящей через точку и имеющую угловой коэффициент k).

По определению углового коэффициента , где – угол наклона прямой к оси .

Таким образом, – угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке - геометрический смысл производной функции в точке

Поэтому уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке можно записать в виде

 

 

 Правила дифференцирования

 

Пусть функции   и  имеют производные в точке , то справедливы следующие правила дифференцирования:

1) Производная константы равна нулю, т.е , где C – константа.

2) Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных, т.е ..

3) Производная произведения находится по правилу: .

4) Константу можно выносить за знак производной

, где - константа.

5) Производная дроби находится по правилу: .

 

6) Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке , причем . Если существует обратная функция , то она имеет производную в точке  и (производная обратной функции).

Таблица производных

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных основных элементарных функций.

1. (u^m)' = m u^m-1 u' (m принадлежит R¹ )

2. (a^u)' = a^u lna× u'.

3. (e^u)' = e^u u'.

4. (log_a u)' = u'/(u ln a).

5. (ln u)' = u'/u.

6. (sin u)' = cos u× u'.

7. (cos u)' = - sin u× u'.

8. (tg u)' = 1/ cos²u× u'.

9. (ctg u)' = - u' / sin²u.

10. (arcsin u)' = u' / .

11. (arccos u)' = - u' / .

12. (arctg u)' = u'/(1 + u²).

13. (arcctg u)' = - u'/(1 + u²).

Пример 1

Найти производную функции y = x ² − 5 x.

Решение.

Применяя линейные правила дифференцирования, получаем:

Пример 2

Найти производную функции , где a и b - константы.

Решение.

 

Пример 3

Найти производную функции 2√ x − 3sin x.

Решение.

Используя простейшие правила дифференцирования, получаем:

Пример 4

Найти производную функции y = 3sin x + 2cos x.

Решение.

Данное выражение представляет собой линейную комбинацию двух тригонометрических функций. Производная имеет следующий вид:

 

 

 

Пример 5

Найти производную функции

Решение

Применяя линейные свойства производной, получаем следующий ответ:

Пример 6 Найти производную функции

Решение

Используя приведенные выше формулы дифференцирования, имеем:

Здесь первое слагаемое является степенной функцией с показателем 1/3. Тогда для производной получаем следующее выражение:

Пример 7

Вычислить производную следующей функции

Решение

Чтобы решить данный пример с помощью рассмотренных выше правил дифференцирования, перемножим обе скобки и запишем функцию в таком виде:

Теперь легко найти производную:

 

Пример 8 Найти производную функции , не используя формулу производной частного.

Решение

Разделив числитель на знаменатель почленно, запишем функцию в виде

 

 

Далее, применяя линейные свойства производной, находим:

 

Производная сложной функции

Если функция  имеет производную в точке , а функция  имеет производную в точке , то сложная функция  имеет производную в точке , причем (правило дифференцирования сложной функции).

Пример 9. Найти производную сложной функции y= .

Решение.

Представим функцию y= в виде двух функций: y = e^u и u = x². Имеем: y'_x =y '_u u'_x = (e^u)'_u(x²)'_x = e^u ×2x. Подставляя x² вместо u, получим y=2x

Пример 10. Найти производную сложной функции y=ln sin x.

Решение.

Обозначим u=sin x, тогда производная сложной функции y = lnu

вычисляется по формуле

 

   y' = (ln u)'_u(sin x)'_x=

 

Пример11. Найти производную сложной функции y= , u=x⁴ +1.

Решение.

По правилу дифференцирования сложной функции, получим:

 

y'_x =y '_u u'_x =( )'_u(x⁴ +1)'_x = 

 

Так как u=x⁴+1, то y'_x=