Общая схема исследования функции

При полном исследовании функции  и построении ее графика

можно придерживаться следующей схемы:

1) указать область определения функции;

Если каждому элементу  по определенному правилу поставлен в соответствие единственный элемент , то говорят, что задана функция , где  называется независимой переменной или аргументом.

Множество  называется областью определения функции. Поэтому, чтобы найти , нужно определить множество точек  действительной оси, для которых выражение  имеет смысл и определяет действительные значения переменной .

2) исследовать функцию на четность;

Если для любого  из области определения  выполняется равенство ,

то функция является четной, если же выполняется равенство ,

то функция является нечетной.

В том случае, когда  и  – функция не является ни четной, ни нечетной.

График четной функции симметричен относительно оси , а график нечетной – относительно начала координат. Таким образом, график четной функции достаточно построить лишь для , а потом, используя симметрию, достроить его на оставшейся части области определения.

 

3) найти точки пересечения графика функции с осями координат;

Точки пересечения графика функции  с осью  определяются из условия , т. е. . Точка пересечения с осью  определяется из условия , значит, .

4) определить уравнения асимптот графика функции: вертикальные и наклонные;

Прямая  является вертикальной асимптотой графика функции , если

, или .

Прямая  является наклонной асимптотой графика функции , если существуют конечные пределы

,

или

, .

В частности, при  получаем  или .

Полученная прямая  является горизонтальной асимптотой графика функции .

5) исследовать функцию на монотонность и экстремумы;

Найти производную  и критические точки, в которых  или не существует, и которые лежат внутри области определения функции. Изобразить критические точки на числовой оси и определить знак производной на каждом интервале, слева и справа от каждой критической точки.

Если при переходе аргумента х через критическую точку :

а)  меняет знак с “+” на “-”, то  есть точка максимума;

б)  меняет знак с “-” на “+”, то  есть точка минимума;

в) не меняет знака, то в точке  нет экстремума.

В промежутках где  функция возрастает, где  функция убывает.

Полученные результаты для наглядности можно оформить в виде таблицы. Эта таблица заполняется следующим образом:

1. В первой строке указываются интервалы, на которые все критические точки разбивают числовую ось и сами точки;

2. Во второй строке указываются знаки первой производной на этих интервалах;

3. В третьей строке описывается поведение функции на каждом интервале (↑ – функция возрастает, ↓– функция убывает).

6) определить интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;

Найти производную  и критические точки, в которых  или не существует, а сама функция непрерывна. Изобразить критические точки на числовой оси и определить знак производной на каждом интервале, слева и справа от каждой критической точки. Исследуемая точка х будет абсциссой точки перегиба, если по разные стороны от неё  имеет разные знаки.

Если на некотором интервале , то функция вогнута ( ); если на некотором интервале , то функция выпукла ( ).

Результаты, так же как и в п. 5 данного алгоритма для наглядности можно оформить в виде таблицы. Эта таблица заполняется следующим образом:

1. В первой строке указываются интервалы, на которые все критические точки второго рода разбивают числовую ось и сами точки.

2. Во второй строке указываются знаки второй производной на этих интервалах.

3. В третьей строке описать поведение функции на каждом интервале (выпукла или вогнута).

7) произвести необходимые дополнительные исследования;

Необходимо вычислить значения функции в точках экстремума и в точках перегиба графика функции. Если информации для построения графика недостаточно, найти значения функции в произвольно выбранных вспомогательных точках.

По составленным таблицам нетрудно построить график функции. Для этого нужно данные таблиц перенести в декартову систему координат в подходяще выбранном масштабе.

8)  построить график функции.

Пример 1. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию  и построить ее график.

 

Решение.

1) Областью определения функции является вся числовая ось, за исключением точек, в которых знаменатель дроби обращается в нуль, то есть . Отсюда , , . Итак, область определения: .

2) Найдем :

.

Так как , то функция  является нечетной, и её график симметричен относительно начала координат.

3) Точка пересечения с осью  определяется равенством , т. е.

, .

Точка пересечения с осью  определяется равенством :

,

т. е. . Итак, график функции имеет единственную точку пересечения с осями координат – начало координат .

4) Так как при  и  не выполняется условие непрерывности функции в точке, то эти точки являются точками разрыва функции . Причем эти точки являются точками разрыва второго рода, так как

,

и , .

Так как данная функция имеет точки разрыва второго рода (точки бесконечного разрыва функции), то существуют вертикальные асимптоты графика функции и их уравнения:  и .

Найдем уравнения невертикальных асимптот. Для этого вычислим коэффициенты в уравнении прямой :

,

.

Следовательно, прямая  является наклонной асимптотой при  и .

5) Найдем производную :

.

Для того чтобы найти критические точки, решим уравнение:  и выясним, в каких точках не существует . Уравнение  равносильно уравнению  или . Отсюда находим стационарные точки: , , . Производная не существует в том случае, когда знаменатель , т. е. при , . Таким образом, получили пять критических точек: , , , , .

Для нахождения экстремумов и интервалов монотонности функции на числовой прямой отметим все критические точки и определим знак производной в каждом из получившихся интервалов.

Для этого достаточно взять по одной произвольной точке из каждого интервала и вычислить значения производной (рис. 11).

 

Например: ; ;

; ; ; .

Так как при переходе через критические точки  производная меняет знак, то эти точки являются точками экстремума функции. В частности, при  достигается минимум функции, а при  – максимум. Кроме того, на интервалах  и  функция возрастает, а на интервалах ,  и  – убывает.

Полученные данные занесем в таблицу:

    Таблица 4

x
	+	0	-		-	0	-		-	0	+
	↑	-2,6	↓		↓	0	↓		↓	2,6	↑

6) Найдем :

 

Определим критические точки. Для этого приравняем вторую производную к нулю:

.

Это уравнение равносильно уравнению , откуда .

Производная второго порядка не существует при . В итоге получили три критические точки: , , .

На числовой оси отложим все критические точки и определим знаки второй производной аналогично тому, как это сделано в пункте 7 (рис. 12):

,

,

 

 

, .

При переходе через точку  вторая производная меняет знак, следовательно,  – точка перегиба графика функции. На интервалах  и  график функции является выпуклым, а на интервалах  и  – вогнутым. Составим таблицу исследования на выпуклость и вогнутость.

Таблица 5

х		-1		0		1
	-		+	0	-		+
	выпуклый		вогнутый	0	выпуклый		вогнутый

 

8) Вычислим значения функции в точках экстремума и перегиба:

, , .

Для более точного построения графика найдем значения функции в дополнительных точках: , .

Теперь построим график функции

 

 

Пример 2. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию  

и построить ее график.

Решение.

1) Исходя из того, что известны области определения элементарных функций  и , получаем область определения функции: : .

2) Так как функция определена только для положительных значений , то она не является ни четной ни нечетной.

3) Найдем точки пересечения с осью :  или , т. е. , откуда . Точки пересечения с осью  не существует, так как  никогда не обращается в нуль. Поэтому график функции пересекается с осями координат в единственной точке – .

4) Данная функция непрерывна на всей области определения.

Изучим поведение функции на левом конце области определения, для этого вычислим предел:

.

Отсюда прямая  (ось ) является вертикальной асимптотой к графику функции.

Найдем уравнения невертикальных асимптот. Для этого вычислим (используя правило Лопиталя) следующие пределы:

,

.

Полученная прямая  (ось ) является горизонтальной асимптотой графика функции

5) Найдем :

.

Производная равна нулю, когда , то есть при .

Производная существует на всей области определения функции . Следовательно, существует только одна критическая точка.

Нанесем область определения и критическую точку на числовую ось и найдем знаки производной  на всех интервалах (рис. 14):

, .

Так как при переходе через критическую точку производная меняет знак, то  – точка экстремума функции (точка максимума). На интервале  функция возрастает, а на  – убывает.

6) Найдем :

.

Производная второго порядка равна нулю, если  или , . Отсюда получаем: , . Так как  не входит в область определения функции, то существует только одна критическая точка второго рода.

Нанесем область определения функции и критическую точку на числовую ось (рис. 15). Найдем знаки  на всех полученных интервалах:

 

, .

При переходе через критическую точку  производная второго порядка сменила знак, следовательно, это точка перегиба графика функции. На интервале  график является выпуклым, а на  – вогнутым.

7) Найдем значения функции при  и :

, .

Для более точного построения графика вычислим значения функции  в дополнительной точке: .

По полученным в пунктах 1–7 данным строим график функции