Важнейшие законы распределения непрерывных случайной величины

       Равномерное распределение – непрерывная случайная величина X с функцией плотности распределения равной

И функцией распределения соответственно равной

Графики функции плотности распределения и функции распределения равномерного распределения представлены на рисунке 58.

Рисунок 58. Графики функции плотности распределения и функции распределения равномерного распределения.

Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины соответственно равно

Равномерно распределённым являются те случайные величины, у которых значения заполняют отрезок  и равновозможные.

       Нормальное распределение – распределение случайной величины с плотностью распределения равной

В данном соотношении , . Функция распределения нормального распределения имеет вид

Данный интеграл не берущийся, поэтому функция распределения вычисляется приближенно. Функция распределения для стандартного случая нормального распределения  называется стандартной функцией распределения – функцией Лапласа

Применяя функцию Лапласа для нахождения вероятности нормально распределенной случайной величины получим соотношение

Теорема – Правило трех сигм: Для нормально распределённой случайной величины выход за пределы  практически невозможно.

Графики плотности распределения и распределения нормально распределенной случайной величины представлено на рисунке 59.

 

Рисунок 59. Графики функции плотности распределения и функции распределения нормального распределения.

       Показательное распределение – распределение, которое задается функцией плотности распределения вида

Функция распределения примет вид

Графики функции плотности распределения и функции распределения представлены на рисунке 60.

 

Рисунок 60. Графики функции плотности распределения и функции распределения показательного распределения.

Исходя из функции распределения получим соотношение для нахождения вероятности случайной величины

Математическое ожидание и дисперсия показательно распределенной случайной величины примет вид

 

Закон больших чисел

       Закон больших чисел – группа теорем, отражающих общий принцип, связанный с устойчивостью массовых случайных явлений. Конкретные особенности каждого случайного явления в массе взаимно поглощаются и почти не складываются на среднем результате.

       Пусть даны  – независимые случайные величины с одинаковым законом распределения и, в частности, с одинаковым математическим ожиданием. Введем новую случайную величину

Исходя из этого,  и .

       При большом числе опытов, рассматриваемая случайная величина не ведет себя как случайная величина, поскольку рассеивания практически нет.

Теорема Чебышева: Если  независимые и одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием m, тогда справедливо следующее соотношение

       Центральная предельная теорема – группа теорем, связанных с законами распределения случайных величин, которые получаются при суммировании большого числа случайных величин.

Теорема Ляпунова: При суммировании большого числа независимых или слабо зависимых случайных величин закон распределения становится близким к нормальному, если каждое слагаемое слаб влияет на сумму.

       При суммировании большого числа случайных величин математическое ожидание и дисперсия суммы могут неограниченно возрастать, поэтому рассматривают центрированную и нормированную сумму

Теорема – предельная теорема Муавра-Лапласа: Пусть в схеме Бернулли каждый элемент принимает 0 – неудача или 1 – успех, тогда  – число успехов в серии из n опытов. Исходя из этого, справедливо соотношение

       Вероятность суммы случайных величин примет вид

 

Основные понятия математической статистики

       Статистика – наука о сборе, классификации, обработке и анализе количественных и качественных данных и получении обобщённых выводов. Математическая статистика разрабатывает математический аппарат для прикладной статистики.

       Генеральная совокупность – совокупность однотипных объектов, которые требуется изучить с точки зрения какого-либо признака. Два основных подхода к изучению генеральной совокупности: метод сплошных наблюдений или выборочный метод.

       Выборка, которая правильно отражает свойства генеральной совокупности, называется репрезентативной. Иногда генеральная совокупность может быть воображаемой и бесконечной.

       Признак можно рассматривать как случайную величину. Если генеральная совокупность конечна, тогда признак будет дискретным. Если генеральная совокупность бесконечна, тогда признак будет непрерывным, но его можно свести к дискретному.

       Если значение признака для единиц выборки упорядочить по возрастанию и узнать сколько раз встречалось каждое значение, тогда получим дискретный вариационный ряд. Если частоты значений заменить на относительные частоты значений, тогда получим эмпирический ряд распределения. Графическое изображение дискретного вариационного ряда и эмпирического ряда распределения в виде ломаной называется полиномом частот или полиномом относительных частот соответственно.

       Эмпирической функцией распределения случайной величины X называется относительная частота события  в данном статистическом материале

В данном соотношении  – число единиц в выборке, для которых значение признака меньше x; n – объем выборки. Эмпирическая функция распределения является ступенчатой для любого признака непрерывного или дискретного, поскольку число различных значений признака всегда конечно.

       Если изучаемый на генеральной совокупности признак X непрерывен, тогда при увеличении объема выборки статистическая функция распределения F будет все ближе приближать непрерывную функцию F(x), являющейся функцией распределения исходного признака X.