Знакопеременные и знакочередующиеся ряды

       Ряд , у которого присутствуют и положительные и отрицательные слагаемые называется знакопеременным.

       Ряды вида , где  называется знакочередующимся.

Теорема – Признак Лейбница: Если для модулей членов знакочередующегося ряда выполняются следующие условия:  и , тогда ряд сходится и его сумма по модулю оценивается как .

       Если у знакопеременного ряда сходится ряд из модулей, тогда сам исходный ряд также сходится (обратное высказывание неверно). Если у сходящегося знакопеременного ряда ряд из модулей сходится, тогда исходный ряд называется абсолютно сходящимся. Если ряд из модулей расходится – условно сходящимся.

       Если ряд сходится абсолютно, тогда перестановка бесконечного числа слагаемых не влияет на сумму. Перестановка слагаемых у условно сходящегося ряда может привести к любому значению суммы или привести к расходимости ряда.

 

Функциональные ряды

       Бесконечная сумма вида  называется функциональным рядом. Если у функционального ряда зафиксировать точку , тогда ряд станет числовым.

       Множество всех значений x, при которых функциональный ряд сходится называется областью сходимости ряда. Аналогично числовым рядам можно ввести частичные суммы следующего вида

Если x принадлежит области сходимости, тогда сумма ряда  определена на области сходимости ряда

 

Степенные ряды

       Функциональный ряд называется степенным, если элементы ряда определены степенной функцией

Частный случай при , тогда степенной ряд примет вид

       У степенного ряда вида  всегда существует число R со следующим свойством: ряд сходится на интервале  и расходится на лучах  и . Число R называется радиусом сходимости, а интервал  – радиусом сходимости. Радиус сходимости можно найти из следующих соотношений

На концах интервала сходимости ряд может быть сходящимся, так и расходящимся.

       Если степенной ряд сходится на своем интервале сходимости к функции суммы ряда , тогда справедливы следующие высказывания:

1.  непрерывна на интервале сходимости;

2. Ряд можно почленно дифференцировать

3. Ряд можно почленно интегрировать

Полученные ряды также имеют интервал сходимости.

 

Ряды Тейлора и Маклорена

       Если функция  дифференцируема в окрестности точки  бесконечное число раз, тогда степенной ряд следующего вида

называется рядом Тейлора для функции .

       Достаточное условие представимости функции рядом Тейлора следующее: если в окрестности  функция  имеет производные, ограниченные по модулю одной общей константой , иными словами ряд Тейлора в этой окрестности сходится к .

       Ряд Тейлора при , иными словами

называется рядом Маклорена.

       Разложение в ряд Маклорена некоторых функций

       Основным практическим приложением рядом Маклорена является вычисление определенных интегралов с некоторой точностью, для чего подынтегральная функция раскладывается в ряд Маклорена и полученный ряд интегрируется почленно.

 

Ряды в комплексной области

       Вся теория рядов в комплексной области сводится к поэлементному рассмотрению , из чего следует, что рассматриваются два ряда: действительный и мнимый, при этом, если расходится хотя бы один из них, тогда весь ряд расходится

       Функциональный ряд в комплексной области вида

Сходится на области D, если в каждой точке заданной области ряд сходится. Если справедливо соотношение , тогда ряд сходится в области D равномерно – признак равномерной сходимости Вейерштрассе.

       Если члены заданного ряда в комплексной области непрерывны в области D и заданный ряд равномерно сходится, тогда сумма ряда  также непрерывна в области D. При тех же условиях справедливо также следующее соотношение

       Если члены заданного ряда в комплексной области аналитичны в некоторой области D и ряд сходится в области D равномерно, тогда дифференциал суммы ряда примет вид

Ряд дифференциалов элементов ряда сводится к дифференциалу суммы ряда равномерно.