Интеграл от функции комплексной переменной

       Пусть задана некоторая область D и в этой области задана непрерывная в заданной области функция  и некоторая кусочно-гладкая кривая

Разделив кривую на n произвольных частей, получим семейство дуг вида

Исходя из этого получим следующее соотношение

       Свойства интеграла комплексной переменной

1. Интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов. Справедливо для любого конечного числа слагаемых;

2. ;

3. ;

4.

5. ;

6. ;

Вычислить интеграл от комплексной переменной можно следующим образом

Полученное соотношение – контурный интеграл второго рода. Контурный интеграл первого рода, где  – дифференциал длины дуги имеет вид

 

Интегральная теорема Коши для некоторой области

       Если функция  аналогична в заданной замкнутой односвязной области D, ограниченной контуром G, на котором она непрерывна, тогда получим соотношение, называемое условиями Коши-Римана

       В условиях многосвязной области, которая может возникать в случае, когда функция комплексной переменной не аналогична в некоторой точке или области, ограниченной контуром , интегральная теорема Коши представляется в виде суммы интегралов, рассматриваемых при односвязных областях

Исходя из этого соотношения получим для соотношение двусвязной области вида

 

Интегральная формула Коши

       Пусть задана функция  в некоторой заданной области D, которая аналогична и непрерывна на некотором контуре . Рассмотрим вспомогательную функцию, для которой справедлива интегральная терема Коши

Доопределение  в точке  как производную заданной функции в этой точке требует непрерывности функции в этой точке, из которого следует соотношение – интеграл Коши

Из данного соотношения следует интегральная формула Коши

       Следствия интегральной формулы Коши для производных аналитических функций примут следующие виды

Из полученного соотношения следует соотношение интегральной формулы коши для производных высших порядков аналитических функций

       Для справедливости полученных соотношений, необходимо, чтобы функции удовлетворяли условиям коши – функции должны быть аналитичны в рассматриваемой области и на заданном контуре.

 

Теория рядов

Числовые ряды

       Числовым рядом называется бесконечная сумма вида , где  – общий член ряда. Сумма первых n членов ряда называется частичной суммой

       Если существует конечный предел частичной суммы, тогда ряд называется сходящимся, а число S – сумма ряда

Если предел не существует или равен бесконечности, тогда ряд называется расходящимся.

       Ряд вида  называется геометрической прогрессией, где b – первый член ряда, q – знаменатель прогрессии

Исходя из известного со школы соотношения для суммы геометрической прогрессии, следует следующие соотношение

При особых случаях, когда , получим расходящиеся ряды следующих видов с соответствующими суммами

Геометрическая прогрессия сходится при  и расходится во всех остальных случаях.

 

Операции с рядами

       Если  и  – сходящиеся ряды с суммами  и  соответственно, тогда ряд  также сходится и его сумма равна .

       Если ряд  сходится и его сумма равна , тогда ряд  также сходится и его сумма равна .

       При удалении или добавлении конечного числа слагаемых поведения ряда не меняется.

       Необходимый признак сходимости – предел вида  не является достаточным. Например, гармонический рад вида  имеет необходимый предел, но является расходящимся рядом.

 

Знакоположительные ряды

       Знакоположительным рядом называется ряд вида

Теорема 1 – Признак сравнения: Пусть для знакоположительных рядов  и  выполняется , тогда справедливо следующее: из сходимости большего следует сходимость меньшего или из расходимости меньшего следует расходимость большего.

Теорема 2 - Предельный признак: Если для знакоположительных рядов  и  существует конечный предел вида , тогда ряды ведут себя одинаково: оба сходятся или оба расходятся.

Теорема 3 – Признак Даламбера: Пусть для знакоположительного ряда  выполняется , тогда если  – ряд сходится,  – ряд расходится,  – признак не работает.

Теорема 4 – Признак Коши: Пусть для знакоположительного ряда  существует предел вида , тогда если  – ряд сходится,  – ряд расходится,  – признак не работает.

Теорема 5 – Интегральный признак Коши: Пусть для знакоположительного ряда  найдена функция , определенная на отрезке  со свойствами: ,  монотонно убывает, , . Тогда ряд и несобственный интеграл  ведут себя одинаково: оба сходятся или оба расходятся.