Частные производные функции двух переменных

       Для функций двух переменных можно внести понятия предела и непрерывности. Пусть  – непрерывная функция, тогда  – частное приращение функции по x. Аналогично число  – частное приращение по y. Число  – полное приращение функции.

       Рассмотрим пределы отношения частного приращения функции по x и y к соответствующим аргументам, тогда получим частные производные функции по x и y соответственно

       Обе частные производные являются по сути обычной производной функции одной переменной, которая появляется при фиксации второй переменной. Исходя из этого все правила и свойства сохраняются.

       Геометрически частная производная  равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к кривой, получающейся при сечении поверхности графика вертикальной плоскостью . Аналогично для частной производной , в данном случае сечение поверхности графика – вертикальная плоскость . Пример проведения касательных  к графику функции двух переменных приведен на рисунке 56.

Рисунок 56. Касательные, проведенные к графику функции двух переменных.

 

Дифференцируемость и дифференциал функции двух переменных

       Для функции двух переменных существование конечных частных производных не гарантирует не только гладкость, но и непрерывность. Если непрерывная функция

 в точке  имеет полное приращение , где

, тогда функцию называют дифференцируемой в точке . Если  – дифференцируема, тогда справедливо следующее соотношение

       Дифференцируемость геометрически означает гладкость графика функции двух переменных, из чего следует, что к данному графику можно провести касательную плоскость. У дифференцируемой функции двух переменных в точке  существует касательная плоскость и ее уравнение привет вид

Пример касательной плоскости к функции двух переменных представлен на рисунке 57.

 

Рисунок 57. Касательная плоскость.

 

Производная по направлению

       Пусть  – дифференцируемая функция,  – некоторая точка в области определения данной функции,  – вектор в плоскости xOy. Рассмотрим приращение  в точке  в направлении вектора , тогда из  попадаем в точку

. Возьмем полное приращение

 и рассмотрим , если этот предел существует и конечен, тогда он называется производной по направлению S функции  в точке .

       Геометрически производная по направлению характеризует скорость изменения функции  в направлении  в точке .

       Для дифференцируемой функции  в точке  производную по направлению  можно найти, исходя из соотношения

В данном соотношении  – направляющие косинусы для вектора .

 

Градиент

       Градиентом функции двух переменных называется вектор, координаты которого составлены из частных производных рассматриваемой функции

Если в каждой точке области определения функции построить вектор градиента, тогда получим векторное поле градиентов.

       Свойства градиента:

1. В каждой точке вектор градиента задает направление, в котором функция растет быстрее всего;

2. Вектор, противоположный градиенту, указывает направление, в котором функция убывает быстрее всего;

3. Если взять в точке прямую, перпендикулярную градиенту, тогда она будет касательной к линии уровня, проходящей через точку.