Корреляционный анализ в статистике

       Пусть на генеральной совокупности изучается два признака X и Y. По результатам наблюдений составлена не сгруппированная выборка в виде следующей таблицы

В данной таблице пары могут повторяться. Если результаты двумерной выборки изобразить как точки на координатной плоскости, тогда получим корреляционное поле.

       По виду полученного корреляционного поля можно сделать предположение о наличии или отсутствии связи или о характере связи. Если в таблице посчитать, сколько раз встречается каждая пара, тогда получим сгруппированную выборку и данные таблицы преобразуются в матрицу частот появления пар

Если пара не встречается в выборке, тогда ставится прочерк. Полученная матрица называется корреляционной таблицей.

       Если частоты в корреляционной таблице выстраиваются вдоль главной диагонали, тогда между случайными величинами прямая связь. Если вдоль побочной диагонали – наличие обратной связи.

       Линейный коэффициент корреляции имеет вид

Если данные по всей генеральной совокупности, а есть только выборка, тогда можно найти точечную оценку для

Критерий оценивания связи: если , тогда связь есть. Если точечная оценка для линейного коэффициента корреляции мало, тогда мал сам линейный коэффициент корреляции.

 

Метод наименьших квадратов

       Пусть по данным выборки было получено n пар вида . По виду корреляционного поля можно предположить линейную связь, следовательно получим прямую, которая наилучшим образом приближает точки корреляционного поля называется линейной регрессией.

Уравнение линейной регрессии имеет вид

Исходя из вышеуказанных требований получим

Выполнение метода неменьших квадратов обеспечивает выполнение нулевой суммы вертикальных отклонений.

       Метод наименьших квадратов заключается в решении данной системы двух линейных уравнений относительно неизвестных

Данная система уравнений называется нормальной системой уравнений для линейной регрессии Y на X.

       Решив рассматриваемую систему, можно найти значения a и b, которые будут реализовывать минимум функции , что вытекает из второго требования, следовательно может быть найдено уравнение регрессии .

       Аналогично можно найти систему нормальных уравнений для регрессии X на Y, что означает минимизацию суммы квадратов горизонтальных отклонений. Уравнения линейных регрессии примут вид

Данные уравнения задают разные прямые, но они могут совпадать при , что означает функциональную зависимость между X и Y.

 

Математическая логика

       В логике область определения и область значений у логических функций является двух элементным. Такие элементы имеют четкое отличие, внешне называемые различными способами

Если такое множество обозначить M, тогда одномерная логическая функция имеет вид

При наличии двух независимых переменных получим бинарную логическую функцию следующего вида

Многомерная логическая функция имеет следующий вид

       Логическую функцию можно задавать словесно. Чаще всего значения логической функции задают таблицы истинности, где перечислены все возможные комбинации значений переменных и где указаны значения логической функции.

       Каждая строка таблицы истинности – вектор с двумя возможными значениями на каждой позиции, иными словами количество строк равно . Каждой строке соответствует один из двух элементов, тогда количество столбцов таблицы истинности – логических функций равно .

       Обычно строки таблицы истинности заполняют определенным образом: каждую из них считают записью двоичного числа, имеющего n разрядов; при запылении упорядочивают по возрастанию эти двоичные числа с их десятичной записью.

       Второй способ заполнения логической функции – изображение на логическом кубе размерности n. Логический куб отображается с n+1 уровнями; вершины нижнего уровня соединяют ребрами с вершинами верхнего куба, где позицию со значением 0 заменили на 1. Вершина куба указывает значение  при соответствующем наборе значений переменных. Пример бинарного куба представлен на рисунке 63.

Рисунок 63. Многомерный бинарный куб.