Уравнение теплового пограничного слоя турбулентное движение среды

При турбулентном режиме движения компоненты скорости и температуры являются сложными пульсирующими функциями времени, которые могут быть представлены в виде суммы осредненных по времени и пульсационных значений соответствующих величин.

В левой части этих выражений - стоят мгновенные значения величин, в правой -осредненные во времени и пульсационные.

В дальнейшем будем считать, что все осредненные величины не меняются во времени. В этом случае осредненные значения пульсаций равны нулю .

Учитывая выше сказанное, после преобразований получим уравнение энергии для турбулентного пограничного слоя.

.         (14)

Сопоставляя уравнения  (12) и  (14) обнаруживаем появление в уравнении  (14) новой величины . Эта величина имеет размерность плотности теплового потока и по физическому смыслу представляет собой количество тепла, переносимое через единицу поверхности в единицу времени в направлении перпендикулярном к потоку. Причем этот перенос осуществляется в результате турбулентного характера движения, т.е. вследствие поперечной пульсации скорости . Назовем эту величину плотностью турбулентного теплового потока

,                              (15)

а    - плотностью ламинарного теплового потока.

Следовательно, уравнение энергии для турбулентного пограничного слоя принимает вид

.              (16)

Появление в этом уравнении дополнительной неизвестной делает задачу неразрешимой. Для решения задачи необходимы дополнительные соотношения, которые можно получить с помощью полуэмпирической теории турбулентности Прандтля.

ПолуэмпиРическая теория турбулентности

Прандтля для переноса тепла

Задача полуэмпирической теории применительно к процессам турбулентного переноса заключается в нахождении связи между плотностью турбулентного теплового потока q_T и осредненной температурой .

Предполагаем, что в турбулентном потоке имеется такое расстояние , называемое путем смешения для переноса тепла, на протяжении которого в среднем сохраняется постоянным теплосодержание турбулентного моля. Пройдя это расстояние, турбулентный моль скачком (пульсацией) изменит свое теплосодержание, смешиваясь с окружающей средой.

Пусть в плоскопараллельном турбулентном потоке, направленном вдоль оси  х имеется некоторое распределение осредненной температуры по оси   у, .

В некоторой плоскости  1 - 1,  находящейся на расстоянии у от плоскости отсчета, осредненная температура равна . Из этой плоскости выходит единичный моль среды, имеющий массу r и теплосодержание    и движется за счет пульсации скорости в положительном направлении оси у.

В соответствии с нашим предположением этот моль будет сохранять постоянным свое осредненное теплосодержание    на протяжении пути смешения , а пройдя этот путь скачком изменит теплосодержание на величину соответствующую пульсации температуры, т.е. на величину . В результате моль будет иметь теплосодержание соответствующее осредненной температуре в плоскости 2 - 2 т.е. . Таким образом, получаем

Разделив обе части этого выражения на постоянные величины плотности и теплоемкости, получим   откуда

                          (17)

 

Считая, что путь смешения для переноса тепла    величина малая, разложим функцию    в ряд Тейлора, ограничившись первыми двумя членами разложения.

                     (18)

Подставив  (18)  в (17) получим выражение для пульсаций температуры

                                    (19)

Подставив выражение  (19) и   ( из полуэмпирической теории Прандтля для турбулентного переноса количества движения ) в выражение (15), получим формулу Прандтля для плотности турбулентного теплового потока

                         (20)

Отношение интенсивностей процессов турбулентного переноса импульса и тепл а носит название турбулентного критерия Прандтля,    Эксперименты показали, что т урбулентный критерий Прандтля является величиной практически постоянной независимо от конкретных особенностей турбулентного потока и равной Pr = 0,75.

Итак, расчет процессов теплоотдачи в турбулентном пограничном слое можно выполнять путем решения уравнения энергии (14) с учетом формулы Прандтля для турбулентного потока тепла (20) и с соответствующими граничными условиями, которые не отличаются от граничных условий  (13) для ламинарного случая.